从培养中学数学教师的角度浅谈《数学分析》的教学

摘 要：一名合格的中学数学教师要有扎实的专业基础和完整的理论知识体系，更要有不断学习研究的能力，这对大学课程的教学提出了更高的要求。本文以《数学分析》中和中学数学内容联系紧密的内容为例来谈谈如何在教学中培养学生的数学学习和研究的能力。

关键词：数学分析;中学数学;数学能力

很多学生认为《数学分析》这门课对数学专业的后继课程比较重要，但是对中学数学教学帮助不大，对于以后想从事中学数学教育的学生来说，还不如多熟悉一下中学教材。我们指出，这是一个极其错误的觀念，作为中学数学教师，要有深厚扎实的数学基础知识、数学学科完整的理论体系和开阔的数学视野，在教学中才能高屋建瓴、深入浅出。这对大学课程的教学提出了更高的要求，如何在课程的教学中培养学生数学思想、数学观念、数学品质并帮助学生构建系统的数学知识理论体系？下面我们以《数学分析》这门课程中与中学数学联系紧密的内容为例，来谈谈如何在教学中培养学生的这些能力。

一、 “实数”理论教学

在初中二年级时我们就知道正的整数和分数，负的整数和分数以及零，叫作有理数，它是无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，有理数和无理数统称为实数。为什么大学课程《数学分析》还要再讲实数，而且将实数理论看得这么重要？这是因为数学分析的主要研究对象是实函数，主要研究课题是这些函数的连续性、可微性、可积性与级数展开。

许多数学家进行长期大量的研究发现，这些理论的基础是严格的极限理论，而人们发现极限理论的基本原理依赖于实数的完备性，从而需要了解实数的发展并对它给出严格的定义。

我们最熟悉的是正整数1，对其作加法我们就得到了所有正整数集合

如果我们对做减法就会导致零和负数的产生，从而得到了全体整数集合

如果我们对做除法运算，便产生了分数，从而我们得到了所有的有理数集合

很长时间内，大家都认为数就是有理数，都可以写成两个整数的商。直到毕达哥拉斯的一个学生发现两直角边为1的三角形的斜边的长不能写成两个整数的商，才发现了新的数。那么问题就来了，这样的数应该怎样定义呢？

我们中学教材说无理数是无限不循环小数，这个说法只能说明它是实数的一种表示，而作为定义是欠妥的。因为我们是将无理数看成是它的不足近似所构成的有理点列的极限值。而极限理论是依赖于实数的完备性理论的，这样我们就犯了逻辑上的错误。为了解决这个问题，很多数学家做了很多努力，最后圆满地给出了无理数的定义，其中最主要的是戴德金和康托建立的实数理论（相关定义见[1][2][3]）。我们简要叙述一下康托的实数理论，他注意到在有理数内的基本列有的收敛，有的不收敛。于是他将收敛的有理基本列定义为有理数，不收敛的有理基本列定义为无理数，这样实数就是有理基本列的全体。

实数域与有理数域的一个重要差别在于实数集布满了整个实轴，它是连续不断的，这种连续性也称为实数的完备性，它本质上说明了实数域对极限运算是封闭的。换言之，当实数域中的一个序列无限接近一个数时，这个数一定还在这个域中。刻画实数的完备性有很多种等价的说法，它们分别是：单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理和确界原理（相关定义见[1][2][3]）。

实数的完备性理论建立起来后，我们就可以自由地讨论极限理论了，以此为工具研究函数的连续性、可微性、可积性以及级数展开。在高维欧氏空间或者无穷维度量空间中讨论极限理论，也必须先建立相应的完备性理论。

通过对实数理论的系统分析，让学生理解了这一理论的重要性，对整个中小学阶段所学的实数的相关性质有了重新的认识，提高了数学品味，为他们以后走上中学讲台打下了基础。

二、 “函数”理论教学

一个变量完全由其他量所确定，我们称前者为因变量，后者为自变量，它们之间的这种确定性的依赖关系称为函数关系。对于大多数学生而言，他们认为所谓函数关系就是由解析表达式所表示的关系，例如y=sinx+2x+5。

数学分析课程中还有很多这样和中学内容衔接很紧密的内容，我们应该在教学过程中培养学生的学习和思考的习惯，强调数学概念及其发展历史，探究问题存在的条件，思考概念的广义化，强调数学问题中的数学思想和数学观念，打好坚实的基础，扩大数学视野，将所学理论知识形成体系并应用于实际问题。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第五版）[M].高等教育出版社，2019.

[2]伍胜健.数学分析[M].北京大学出版社，2011.

[3]陶哲轩.陶哲轩实分析[M].人民邮电出版社，2012.

作者简介：

唐树安，贵州省贵阳市，贵州师范大学数学科学学院。