巧用向量法

苏海洋 樊晓明

【摘要】向量是高中数学中非常重要的概念，它既是代数研究的对象，有丰富的运算，又是几何研究的对象，有形的特性.因此，向量是沟通几何与代数的天然桥梁，在高考中向量是一种解题方法，更是一种重要的工具，常与其他知识交汇起来考查，本文主要探讨向量在不等式、解析几何以及立体几何中的应用.

【关键词】向量;解析几何;立体几何

一、向量在不等式中的应用

不等式是高中数学的重要组成部分，在高考中占有一定的比重，不等式的求解与证明问题需要学生有很强的推理能力以及运算能力，是培养学生逻辑推理与数学运算核心素养的良好载体.在解决不等式问题的过程中，根据不等式的结构特点，可构造向量，利用向量的运算性质进行求解[1].

例1 已知a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，证明：ax+by+cz≤1.

分析 本题如果采用常规的方法求证是很困难的，运算量过大.而通过分析条件中两个式子的结构特点，可以联想到构造向量来解决.设m=（a，b，c），n=（x，y，z），则|m|=1，|n|=1，ax+by+cz=m·n，再利用数量积的性质：m·n≤|m||n|，即可得证.

二、向量在解析几何中的应用

解析几何是高考数学的重要考点，而圆锥曲线作为解析几何的一部分，往往占有较大的比重.在解决圆锥曲线相关问题时，利用常规方法有时会无形中增加运算量，而巧妙地构造向量，运用向量丰富的运算解题，不仅能将复杂问题简单化，又能提高解题的效率.

例2 设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1.

（1）求椭圆的方程;

（2）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内.

分析 在第（2）问中，根据题意，可将证明的结论转化为证明∠MBN为钝角.如果使用常规方法会造成运算量过大，学生容易出现计算错误.但如果引入向量BM，BN，则问题就转化为BM·BN<0，降低了运算的难度，下面给出此题的解法以供参考.

解 （1）（过程略）.

（2）由（1）可得A（-2，0），B（2，0），设直线AM的斜率为k，M（x1，y1），则AM：y=k（x+2），联立AM与椭圆方程可得y=k（x+2），x2a2+y2b2=1， 消去y可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，∴xAx1=16k2-124k2+3x1=6-8k24k2+3，∴y1=kx1+2k=12k4k2+3，即M6-8k24k2+3，12k4k2+3.设点P（4，t），由于P在直线AM上，所以t=（4+2）k=6k，即P（4，6k），∴BP=（2，6k），BM=-16k24k2+3，12k4k2+3，∴BP·BM=40k24k2+3>0，因此，∠MBP为锐角，∴∠MBN为钝角，点B在以MN为直径的圆内.

三、向量在立体几何中的应用

立体几何是高中数学的重点，也是课堂中的教学难点，对学生空间想象能力要求较高.解题中一般运用“降维”思想，将立体几何问题转化为平面几何问题加以解决，而向量法的引入为立体几何问题提供了新思路，通过其丰富的运算将复杂问题简单化[2].

例3 如图所示，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，DD1⊥底面ABCD，DD1=AB=2A1B1，则异面直线AD1与BC1所成角的余弦值为.

分析 此题若用传统方法来求解，则需要将异面直线平移至同一平面内，过程较为复杂.但如果通过建立空间直角坐标系，根据题目中的相关信息，表示出AD1与BC1，再结合公式，即可得到两直线所成角的余弦值.因此，在平时的立体几何教学中，教师应有意识地向学生渗透向量法，培养学生应用向量法解决问题的能力，实现化繁为简的目的.

通过对以上例题的分析，揭示了向量在解题中的简洁性.因此，教师应在平时的教学中，有意识地渗透向量法，从而提高学生的解题效率，真正实现复杂问题的简单化[3].

【參考文献】

[1]李英刚.向量在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2016（18）：40-41.

[2]亓国庆.向量法在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2017（18）：38-40.

[3]李兆燕.向量在高中数学中的应用探究[J].数学学习与研究，2013（11）：85.