极限保号性的推广及其应用

党红

【摘要】本文主要针对数学分析和高等数学课程中数列极限保号性和函数极限保号性定理进行推广并加以证明和应用，说明推广定理较原定理更易于揭示保号性的本质.

【关键词】数列;函数;极限;保号性;推广

一、数列极限的保号性

数列极限保号性定理1不容易理解，且很难抓住其本质特征，但从推广定理1可以很容易得到数列极限保号性的本质特征：只要数列收敛，那么从数列的某一项开始起，后边的无穷多项与任一常数（异于数列极限值的常数）的大小关系和该常数与数列极限值的大小关系保持一致.

进一步还可以得到结论：如果两个数列收敛于不同的极限值，那么就可以通过数列极限值的大小关系得到数列（从某一项开始起）的大小关系.

二、函数极限的保号性

其他5种函数极限有类似的保号性定理的推广结论.

函数极限保号性定理2与数列极限保号性定理1一样，不容易理解，也很难抓住其本质特征，但从推广定理2却可以很容易得到函数极限保号性的本质特征：只要函数极限存在，那么函数在某一去心邻域内的取值与任一常数（异于函数极限值的常数）的大小关系和该常数与函数极限值的大小关系保持一致.

进一步还得到结论：如果两个函数的极限值不相等，那么就可以通过函数极限值的大小关系可以得到函数（在某一去心邻域内）的大小关系.两个推广定理的主要特点是不需要讨论极限取值的正负.

三、实例应用

数列可以看作是特殊的函数，所以下面只针对函数极限保号性的推广定理进行应用.

（一）在极值问题中的应用

四、小 结

数列极限保号性和函数极限保号性在实际问题中有多方面的应用，本文只对该性质的3个方面进行应用，旨在说明推广定理较原定理更易于揭示保号性的本质——在一定范围内，数列或者函数的取值与其极限值保持一致.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]歐阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析（上册）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]黄永忠，吴洁，贺云峰.从考研试题谈极限“局部保号性”的应用[J].高等数学研究，2017（6）：1-4.