强化几何直观和代数推理，发展学生思维

【教学内容】

这节内容可安排在人教版数学七年级上册第三章第一节“从算式到方程”内容之前，也可安排在北师大版数学七年级上册第五章第一节“认识一元一次方程”之前，可作为一元一次方程的起始课。本节课由“陈莉红阳光数学名师工作室”成员付敏老师和胡德才老师参与设计并进行教学实验。

【设计理念】

方程模型是初中阶段代数思维的第一个模型，通过方程的学习实现从算术思维到代数思维的转化，这是一个高度抽象的过程。如何帮助学生顺利地实现思维的过渡，需要在教学过程中加强几何直观和代数推理。一元一次方程这一章的教学有两个问题：一是从算式到方程的过渡效果不理想。学生习惯了小学的算术法，认为算术法能快速求出答案，而用方程求解时需要写较多步骤，对引用方程解决问题的必要性没有真正理解接受。二是学生学完了一元一次方程后，遇到稍复杂的情境就不会列方程。而这种现象的本质是因为没有真正理解列方程的关键是要寻找等量关系，要在教学情境中发现量、表达量，寻找等量关系再列方程。为了解决学生从算术到代数思维过渡的问题，笔者特意设计了这节课，并在这节课中有效渗透代数推理及充分运用框图帮助学生理解、强化几何直观的作用。

【教学目标】

1.体验算术法和代数法都是解决实际问题的常用方法。

2.感悟同一教学情境中算术法和代数法的联系与区别，并认识到运用代数法解决问题的必要性。

3.在思维上接受算术法向代数法这种思考问题方式的转变，并对代数法解决问题产生心理认同。

4.初步形成运用列代数等式法的解题意识和解题素养。

【教学重点、难点】

重点：感悟算术法与代数法解决问题的特点，体验算术法与代数法的联系与区别。

难点：让学生感悟运用代数方法解决问题的必要性，运用代数方法表示未知量及建立等式。

【设计思路】

1.从思维发展的角度，让学生真正理解从算术到代数的必要性，感悟算术与代数两种思维的区别与联系，为下节课从算式到方程打下坚实的基础。

2.在表达未知量及未知量之间的关系时，渗透几何直观思想，利用图表或者框图等可以帮助学生理解问题情境的辅助工具，直观表达;利用字母表示未知量，利用推理寻找量与量之间的關系，实现数学抽象，进而达到数学建模的效果，并将这种做法一直贯穿在一元一次方程整章内容的学习过程中。

【教学过程】

一、创设情境，激发兴趣

民间歌谣：“鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半。

八鸭展翅飞，六鸡在生蛋。

再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三。

请你算一算，鸡鸭原若干？”

教师先让学生解释歌谣的意思并提问。

师：请同学们想一想歌谣中总共有哪些量？已知量、未知量分别是什么？

生1：一开始鸡和鸭的只数，飞出去鸭的只数和躲起来的鸡的只数，后来栏圈里鸡和鸭的只数。

（若生1说不全，可让其他学生补充。）

师：同学们，这些量之间有什么关系呢？

生2：一开始鸡的只数是鸭的一半，后来鸭的只数是鸡的3倍。还有飞出去鸭的只数和躲起来的鸡的只数是固定的，分别为8只和6只。

生3：一开始鸡的只数减去6等于后来鸡的只数，鸭的只数减去8等于后来鸭的只数。

师：现在知道了这些量及它们之间的关系，如何求一开始鸡和鸭的只数呢？

生4：鸡为鸭的一半，可知鸭的只数为偶数，鸡的只数至少为7只，那么我就从鸡的只数一个一个地试。

师：这个同学是假设鸡的只数分别为7，8，9，10，然后一个一个地计算检验，他这样做可以吗？

生：可以。

师：如果题目变为“今有一群鸡鸭被关在一个栏圈里，已知鸡为鸭的一半。主人在清点鸡鸭时，发现有20只鸭飞出栏外了，又有40只鸡躲起来生蛋，这时清点得鸭的只数为鸡的5倍，请你计算鸡、鸭各有多少只。”你还会做这道题吗？请同学们试试吧！

师：请哪个同学分享下他的解题思路。

生5：数据较大，一个一个地试要试好久。

生6：我也是，还没试出来。

……

师：这道题能试出来吗？

生：能。

师：要试多长时间才能找到答案？

生：不知道。

师：有没有哪个同学能列算式解答？

（学生沉默中……）

师：在探究过程中，我们一个一个地枚举尝试，需要时间长且无法判断有没有其他的解，尤其是题目条件的数量变大后，更是增加了枚举的难度，列算式又想不到，那怎么办呢？

生：题目中的量太多了，关系也复杂，感觉脑子不够用了。

师：我们就先想想用什么方式能把各个量之间的关系表达出来，那样是不是思路更清晰一些呢？

生：好呀！

师：请同学们注意看题目条件，题目中有几个未知量，彼此之间有什么样的数量关系，哪个同学来回答？

教师引导学生用框图的形式把未知量之间的关系表达出来（如下图）：

师：请同学们继续思考，如果我们用字母来表示未知量，需要用几个字母就可以把所有的未知量全部表示出来？

生：只需要用一个字母就可以了。

师：我们可以设任意一个量为x，比如设开始时鸡的只数为x只，请问你们能把其他3个未知量用x的代数式表达出来吗？

（教师巡视、观察，拍下学生的解答过程，上传屏幕展示。）

师：请同学们继续思考，图示中的每一个量可以有几种不同的表达方式？比如就选后来鸭的只数这个量，还有不同的表达方式吗？

生：有，后来鸭的只数可表达为：5（x-40） 。

师：很好，我们发现了后来鸭的只数这个量可以有两种不同的表达方式，所以它们应该是相等关系，可以列出等式：2x-20=5（x-40）。

师：我们通过设未知数、列代数等式的方法解决了问题，今后我们会学习如何求解这个等式并能计算出x=60。

师：大家觉得这个方法和以前的解法有什么不同？

生：用枚举尝试法能成功求解问题，如果数据很大，要尝试很久才能找到答案;列算式是逆向思维，关系很复杂，量多的时候就很难理清思路、直接列出算式。

师：你说得非常对，以后遇到类似的问题时，你会怎么办？

生：我会尝试用列代数等式的方法解决问题。

师：好极了，我们又学会一种解决实际问题的新方法。

【设计意图】

在本教学环节中，教师首先以一首民间歌谣作为情境引入新课，一方面增强趣味性，另一方面歌谣中出现的量较多，关系较复杂，学生不易由算术法直接得出答案，从而产生认知冲突，凸显代数法的必要性。然后教师在解决问题的过程中，有意识地引导学生通过表格、框图等形式直观地表达量与量之间的关系，在代数中渗透几何直观。用字母表示各个量实现第一次数学抽象，寻找等量关系实现第二次数学抽象。最后通过对问题的讨论探究，让学生亲历枚举计算、列算式和列代数等式的解题过程，体验出各种解法的优劣，从心理上傾向认同列代数式解决问题的思维方式。“算术方法”表现为“逆向思考”，它只含已知数，但很难一步到位，思维要求较高。

列代数等式时不急着求出未知数，而是先寻找各量之间的关系，找到同一个量的不同表达方式，再设未知数表达出等量关系。它思路清晰，易列出含未知数的等式，表达题意准确自然，易于学生理解接受，在教学过程中培养了学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。

二、活动探究，巩固应用

例1  有甲、乙两堆小球，甲堆比乙堆多，乙堆有6个小球，如果按照以下规则挪动小球，第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，请解答以下两个问题：（1）若假设第一次挪动以后，甲、乙两堆小球一样多，甲堆原先有多少个小球？（2）若假设第三次挪动以后，甲堆比乙堆少6个小球，甲堆原先有多少个小球？

师：请同学们先做第（1）问，哪个同学说说，你是怎么算的？

生1：我是用算术法做的。第一次移动后，乙堆加了6个球，甲堆少了6个球，甲堆剩下的球正好等于乙堆的12个球，用逆推法就可以列出算式了。

生2：我是用列代数式的方法做的。设甲堆原先小球数为x个，第一次移动后，乙堆12个球，甲堆x-6个球。这两堆一样多，让这两个代数式相等就可以了。

师：不论是算术法还是代数式，都把移动后甲、乙两堆小球数目的变化规律搞清楚了，用逆推法可以直接求出小球数目，用列代数式的方法可以把等量关系表达出来。非常好，那么我们再继续解答第（2）问。

（教师巡视学生答题情况。）

师：第（2）问还能用算式法做吗？

生3：次数越多，关系越复杂，列算式比较困难了。

师：既然列算式比较困难，那我们试试代数法。

师：为了把所有量都表达出来，而且它们之间的关系还能一目了然，我们可以怎么做？

生4：我们可以画表格，或者用框图的形式表达出来。

师：同学们试一试自己画表格。

（教师帮助学生一起画表格。）

师：表格画出来了，哪个同学说说表格里的答案？

生5：我是这样做的（如下表）。

师：太棒了，请你和大家一起分享下是怎么得到答案的？

生5：我注意到，每次移动前后球的总数是x+6，是恒定不变的，所以每次移动后，我先确定翻倍后的那一堆球的数目，再用总数减去翻倍后的那一堆球的数目就得到了余下球的数目。

师：很好，我们可以顺着题意直接列出来，也可以抓住变化中不变的量（小球总数不变）来帮助我们找到关系，列出代数式。

师：接下来可以根据什么关系列等式呢？

生6：第三次挪动以后，甲堆比乙堆少6个小球。

师：谁能说出解答过程？

生7：2（x-6）-[12-（x-6）]= 2[12-（x-6）]-6，解得x =12。

师：非常好！请同学们体会代数法的运用策略：寻找未知量、表达未知量和建立等式。

【设计意图】

在本教学环节中，教师围绕移动小球的游戏活动展开探究，设置两个问题，由易到难，由简单到复杂，在解决问题（1）时，让学生体会到算术法和代数法都是解决问题的基本方法。在解决问题（2）时，由于关系复杂，用算术法会遇到障碍，自然产生认知冲突，体会到代数法的必要性，使得从算术到方程的过渡显得非常自然。在表达复杂关系的量的时候，教师引导学生画表格来帮助理清思路，在代数推理中加强了几何直观，在学生表达第一次移动、第二次移动、第三次移动的小球数目过程中，自然地运用到了代数推理，在潜移默化中培养了学生的代数思维。

三、课后阅读，感受数学文化

师：请同学们课后阅读有关材料，初步了解代数法发展、演变、进步的过程，并认识一些为数学痴迷、为数学发展和进步作出巨大贡献的伟大数学家们。

师：请同学们到网上搜索古代元朝时著名数学家朱世杰的故事，并搜集与本章相关的内容与大家一起分享。

师：请同学们了解关于希腊数学家丢番图的故事，做一做丢番图墓志铭上的数学题。

【设计意图】

在本教学环节中，教师让学生搜索古代元朝时著名数学家朱世杰的故事以及希腊数学家丢番图的故事，渗透数学文化，落实立德树人的目标，有效地发展学生数学核心素养。

（作者单位：江西省教育厅教学教材研究室）