谈排列组合问题的若干解题策略

吴桐

摘要：排列组合是我们高中数学教材中非常重要的模块，也是高考必考的模块。它的内容相对独立，又具有逻辑性，题型千变万化，是教学的难点之一。所以在学习的时候要掌握方法，这样才能提升逻辑思维能力、抽象能力、数学建模能力，培养数学核心素养，促进学生全面发展。本文将对高中排列组合常见题型和方法进行总结，帮助同学们克服这一难点。

关键词：排列组合;解题方法;实践探究

中图分类号：G643.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）22-054-2

排列组合是高中数学中非常重要的模块，如果只按照常规方法解题极易出错，所以教师要打破传统的教学理念，启发学生自主学习，引导学生发掘排列组合的不同解题思路，从而实现自身解题水平的提升。排列组合的学习，如果紧紧围绕“分类相加、分步相乘;有序排列、无序组合”这十六字方针，不仅能取得事半功倍的效果，而且能形成良好的数据分析及数学运算能力，同时对于其他部分的知识点也能达到举一反三的效应。

一、学会分类分布是基础

一般情况，分类问题用加法，分步问题用乘法。那么何时用加法，何时用乘法呢？分类与分步的区别在于某一方法若能单独完成目标结果则属于分类，反之则属于分步。并且分类问题中每一种方法之间是彼此互相平行、互不影响的，而分步问题中每一个方法之间是承上启下、缺一不可的关系。例1：（1）若现在从哈尔滨出发去北京，可选择的交通工具有飞机、高铁、动车、普快、自驾，问一共有多少种出行方式？结果显然是将所有种类相加，共5种。（2）若从哈尔滨出发去北京，中间需在天津转车，从哈尔滨至天津有3种出现方式，从天津至北京有5种出行方式，问从哈尔滨至北京共有多少种出行方式？结果为15种。

二、区分排列组合是重点

排列组合的定义都是从n个元素中选取m个不同元素，不同之处在于排列是将m个元素排成一列，而组合则是将m个元素组成一组。要深入了解排列组合的区别，要明白当元素的顺序改变对结果造成影响那么为排列问题，反之当顺序的改变对结果没有影响则为组合问题，即“有序排列、无序组合”。例2：乘坐动车从哈尔滨出发去北京，沿途共设有10个停靠站（含起始站），问（1）铁路部门需要为这段旅程准备多少种车票？分析：一张车票由出发站和终点站决定的，那么从这10个站点当中任意选取2个站点都可以构成一种车票，并且当改变出发站和终点站的顺序会影响车票的结果，故此题为排列问题，答案为A210。（2）铁路部门需要为这段旅程准备多少种票价？分析：此题与上一问不同之处在于从车票变成了票价，一张车票的票价是由距离决定的，即使改变出发站和终点站的顺序，但不影响最后的结果，故此题为组合问题，答案为C210。排列注重元素的差异性和顺序性，组合则没有要求。遇到复杂的排列组合问题则需要采取一定的方法将问题简单化，下面讲述常见的解题思路。

三、利用解题策略是突破

排列组合题目比较抽象且灵活多变，同学们通常都很难掌握，但只要对排列组合的解题方法对号入座，看到问题自然能迎刃而解。

1.特殊元素优先排

在排列组合问题中如果题目对某个特殊元素有要求，我们必须先考虑优先安排特殊元素，然后再考虑其他元素的排列组合问题。例3：甲、乙、丙、丁、戊五所高校组织军训联合汇演，其中有3所本科院校、2所专科院校，每个学校有一个方阵，5个方阵按照一定的顺序参加检阅。（1）要求甲第一个或最后一个出场，求检阅的情况数？分析：根据题意的要求甲必须在首位或末尾，则甲为特殊元素优先排，有2种排列方式。当甲元素排完之后再把其他4个元素进行全排列，总共有种C12A44。

2.相邻元素用捆绑

捆绑法对于解决排列组合问题是非常有效的手段，我们首先应从整体考虑，将题目中要求相邻的元素捆绑成一个新的独立的元素，然后与其他元素形成排列关系，最后再对捆绑部分的元素展开排序，最终得到结果。例3：（2）要求甲、乙的出场顺序相邻，求检阅顺序的情况数？分析：首先把甲乙看作一个整体，使其和其他剩余的3个元素进行排列，共有A44种方式。别忘了甲乙内部还有A22种，那么根据分布原理共有A44A22种方式。

3.不相邻元素用插空

在解决排列组合元素不相邻问题时可采用插空法进行解题，首先将没有限制条件的元素进行排列组合，然后将指定的不相邻元素直接插入到已排好元素的间隙或两端，这就是插空法。例3：（3）要求甲、乙的出场顺序不相邻，求检阅顺序的情况数？分析：本题利用插空法先将没有限制的丙丁戊三个元素进行排列，有A33种方式，这三个元素中间加两端有4个空，然后将不相邻的甲乙放在其中2个位置上，有A24种方法。最后便可以得到答案为A33A24种。

4.正难则反用排除

对于某些排列组合问题，如果直接分析情况数有很多就不易解决，若换个角度运用反向思维进行思考就会使问题变得容易，这样可以先求出不符合问题的答案，然后再从总的求法中减除反向答案，这样结果会做到不重不漏。例3：（4）汇演结束后，选出2所学校评为优秀汇演院校，求至少有1所专科院校的选法有多少种？分析：此题问法中关键字为“至少”，所以可采用排除法解题。从整体5所学校当中选出2所的方法为C25种，1所专科学校都没有的方法为C23，所以至少有1所专科院校的选法为C25-C23种。

5.相同元素用隔板

隔板法适用于相同元素的分配问题，对于一些名额指标分配、小球装盒等，需要构造情景，将所有的元素先排成一列，然后再在各元素间的空隙中（不包括两端）插入隔板，这样就将元素分成了你想要的几个部分。通常将n个相同的元素分配成m份，可以看作在n-1个空隙中，插入m-1块隔板，因为元素相同所以没有顺序，故有Cm-1n-1种分法。例4：学校购买了20套完全相同的桌椅，分给七、八、九年级，按照需求量的不同，七年级至少分3套，八年级至少分4套，九年级至少分2套，问有多少种不同的方法？分析：由于题目要求至少3套、4套、2套，我们不妨把他们都变成至少1套，即先给七年级2套，给八年级3套，九年级1套。问题转化为共有14套桌椅分给三个年级，每个年级至少一套的不同分法。将14套桌椅排成一列，除了首尾中间共有13个空隙，从中选2个插入隔板，将其分为三组，不同的插法就是不同的分配法，有C213种不同的方法。

综上所述，早在小学的计数问题和初中的不定方程问题，我们就开始接触排列组合思想，到了高中阶段，排列组合又和概率的学习密不可分;甚至于社会的各个行业，也可以利用排列组合的思想去解决问题。在教学过程中，教师应该以学生为主体，引导学生自主学习，一方面是要求学生充分掌握教材的理论知识和解题方法，另一方面是培养学生数学思想和数学核心素养，以此提升他们的逻辑思维能力和创新能力。高中阶段的学生在面临排列组合问题时可能会由于思考不全面，造成解题失误。本文将常见的几类排列组合问题进行了归纳总结，学生应当加强相关的练习，这样才能掌握题型特征做到举一反三。排列组合的逻辑性、抽象性很强，学好这部分的知识对于后续知识点的学习也是有所裨益。希望通过本文可以打开排列组合的大门，从而享受数学世界的美好。

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[4]教育部.普通高中數学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（作者单位：哈尔滨师范大学，黑龙江哈尔滨150025）