情境拓展启思考 问题驱动探本质——“回归分析的基本思想及其初步应用(第二课时)”教学设计及感悟

陈 锴

(广东省中山市龙山中学，528471)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.”其中的“情境”主要是指现实情境、数学情境、科学情境.在教学中,教师应发挥主导作用,通过创设丰富、有趣、贴近现实的教学情境和在情境中不断地提出问题激发学生的学习兴趣,启发学生思考,引领学生经历从具体到抽象、从实际到理论的知识生成过程,从而探寻数学知识的本质.笔者在进行“回归分析的基本思想及其初步应用(第二课时)”教学时,通过“创设、发展、抽象、回归”,将教学情境不断演化,获得了较好的教学效果.

一、教学内容分析

本节课是人教A版教材选修2-3第三章第一节第二课时内容.在必修三教材已经学习了变量间的相关关系及线性回归方程的基础之上,教材选修2-3侧重于回归分析的基本思想、线性回归模型以及非线性回归模型的应用.本节课是在已经学习了线性回归模型以及最小二乘法的基础上,对非线性回归模型进行研究的第二课时，为更好地由线性回归模型过渡到非线性回归模型,笔者以施肥量和农作物产量增量为教学情境,并对该教学情境进行发展变化,引领学生经历回归分析全过程.

本节课的教学重点是:了解回归分析的基本思想，以及线性回归模型与非线性回归模型之间的差异与联系,提高学生解决回归问题的综合能力.这同时也是本节课的难点所在.

二、学情分析

面对非线性回归问题,学生在选择不同的回归模型和将非线性回归模型转化为线性回归模型时,常会觉得困难.其主要原因是学生对回归分析思想、转化与化归思想理解不透,缺乏相关的转化方法.教师在教学中应结合具体问题,让学生对不同回归模型进行分析、比较和判断,了解回归模型“没有最好,只有更好”的特点.这时应充分发挥信息技术的作用,突破传统课堂教学难点,让学生从直观和抽象两个方面理解非线性回归模型转化为线性回归模型的变形过程与方法.

三、教学过程设计

1.创设情境,典例引路

世间万物有着千丝万缕的关系,其中函数关系是一种确定性的关系,而相关关系是一种非确定的关系.数学是研究事物之间关系的有力工具,回归分析是研究相关关系的一种常用统计方法,其常见步骤是:收集数据、作散点图、求回归方程、利用方程进行预测.

情境1某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜,该基地的西红柿增加量y(kg)与使用某种液体肥料的质量x(kg)之间的对应数据如下表所示:

x24568 y34445

问题1你能用自然语言描述西红柿增加量y(kg)与使用某种液体肥料的质量x(kg)之间的关系吗?

问题2你能用数学语言描述上述关系吗?

问题3你能用散点图表示上述关系吗?

问题4你能用数学方程表示上述关系吗?请写出你的方程并计算当x为3时的西红柿增加量y.

问题5如何评价你得出的方程拟合题意呢?

设计意图本环节在教学情境的基础上,通过问题串的解决使学生掌握线性回归问题的一般性解决思路,在问题解决中巩固知识,加深理解.在创设情境时,笔者发现与本节课内容相关的问题情境有的纷繁复杂,有的脱离学生生活,会给学生的认知造成困难.本环节设计的情境简单明了、贴近现实、凸显本质,与学生熟悉的生物学知识具有紧密的联系,且具有较广的发展空间,为后续进行情境拓展创造了条件.

值得注意的是,数学运算是数学核心素养之一.在高考试题从能力立意向素养导向的转变的趋势中,线性回归分析问题是考察学生数学运算核心素养的良好载体,教师在教学中应重视学生计算能力的培养.

2.发展情境,变式探究

情境2在生产实践中,蔬菜基地工作人员通过收集更多数据发现,当施肥量x(kg)达到一定水平后,西红柿增加量y(kg)增加缓慢,相关数据如下表:

x1234567891 y233.54444.5555

问题6根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dlnx哪一个适宜作为西红柿增加量y关于施肥量x的回归方程类型?

如图1，随着施肥量的增加,西红柿产量的增加越来越缓慢,并非线性增加的关系,故使用y=c+dlnx作为回归方程更加合适.

问题7根据散点图,你能为题中的数据再设计一个回归方程模型吗?

根据散点图,可以选择幂函数模型y=axb进行回归分析.

问题8如何判断哪个回归方程模型更好呢?

教师可利用图形计算器做出每个回归模型的残差图(如图2)并进行观察.通过观察残差图可得线性回归模型的残差分布在(-0.7,0.7)范围内；对数函数回归模型和幂函数回归模型的残差均分布在(-0.4,0.4)范围内.所以y=c+dlnx和y=axb模型的拟合效果优于线性回归模型y=a+bx的拟合效果.教师还可以使用统计计算功能求出三种回归模型的相关系数(如图3)，最终确定对数函数回归模型为三种模型中的最优模型.

问题9如何求出回归方程y=c+dlnx呢?

设z=lnx,则回归方程可化为线性方程y=c+dz,在图形计算器的表格页面中进行运算后可求出回归方程y=c+dlnx.

设计意图本环节在顺应学生常识知识的基础上,将情境1进行拓展,生成更符合现实的情境2；并在解决问题的过程中引导学生学会选择回归模型、学会设计回归模型、学会评价回归模型、学会求出回归方程.

本环节凸显了信息技术工具在教学中的作用,发挥图形计算器的表格运算功能、作图功能、回归分析等功能,使抽象的数学知识变得更直观,复杂的数学运算变得更简便.从而将时间让位给学生的自主思考,帮助学生积累数学基本活动经验,感悟数学基本思想.

3.抽象情境,深化拓展

情境3数学中除了线性回归模型、对数函数回归模型还存在很多其他回归模型,例如指数函数回归模型、幂函数回归模型、三角函数回归模型等.如果可以将非线性回归模型转化为线性回归模型,就可以使用最小二乘法进行求解.

问题10如何将指数函数回归模型y=a×ebx转化为线性回归模型?

将指数函数模型y=aebx两边取对数,可得lny=lna+bx.设u=lny,则回归方程可化为线性方程u=lna+bx.

问题11如何将幂函数回归模型y=axb转化为线性回归模型?

将指数函数模型y=axb两边同时取对数,得lny=lna+blnx.设u=lny,v=lnx,则回归方程可化为线性方程u=lna+bv.

设计意图本环节在情境2的基础上,将情境继续发散与抽象,生成情境3.旨在引导学生思考指数函数模型和幂函数模型,并利用同时取对数的方法转化为线性回归模型.教师还可使用图形计算器的表格计算功能和散点图功能,对上述转化方法进行检验,以帮助学生深化理解.

4.回归情境,总结升华

情境4回顾情境1与情境2，请同学们思考,是否施肥量越多,西红柿的产量就会一直增长呢?答案是否定的.生物学知识告诉我们,如果一次施肥过多或过浓,会造成土壤溶液浓度大于根毛细胞液浓度,农作物会失水烧苗.所以可以预见的是,如果收集更多的数据就可以发现当施肥量x继续变大时,西红柿产量的增加量y会越来越小，甚至变为负数,散点图也会呈现先上升再下降的趋势,此时对数函数模型也将不再适用了.

在当今社会,数据已经为各行各业的发展发挥着重要的作用.在生活中,每个人既是数据的创造者也是数据的受益者.在已经到来的大数据时代,回归分析正是一种与之相关的重要的数学知识.

总结:由上可见回归分析问题的一般解题步骤(如图4):

设计意图在本环节中,教师进一步将贯穿本节课始终的教学情境置于现实生活中,引导学生综合其他学科知识思考问题,发现收集的数据量越大所得结论越准确的大数据规律.启发学生用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.

三、几点感悟

1.好的教学情境应该能激发学生的问题意识

《普通高中数学课程标准(2017年版)》注重对学生问题意识的培养；在课程目标中强调应“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”.好的教学情境应该在展现数学知识背景的基础上为数学问题的提出提供土壤.教师不仅应在课前精心设计问题串,还应该在教学过程中留意学生即兴生成的优秀问题,以问题串引领学生思维,经历知识的发生发展过程.

2.好的教学情境应该反映教学内容的本质

教师在创设教学情境时,不能为了情境而情境,好的教学情境应该为教师的教和学生的学服务,应该能反映数学知识的特点,能承载相应的教学功能,能反映教学内容的本质.对于统计学知识,教学情境多来源于数学外部的素材.这类素材具有生动、具体、有吸引力的特点,但往往与数学知识的贴切度不强,教师应对教学情境进行适度改编,以增强情境与知识的贴切度,让教学情境更好地反映教学内容的本质.

3.好的教学情境应该鼓励数学探究活动

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究，并最终解决问题的过程,是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容.好的教学情境,应该如同种子一般,具有不断生长拓展的能力,可以不断给学生提供新的信息、新的问题.应当鼓励学生围绕情境开展数学探究活动,在探究活动中实现核心素养的落地生根.