韦达定理应用的拓展

杨卫剑 计惠方

(浙江省湖州市第五中学，313000)

一、通过换元构造，变不对称为对称

评注通过换元构造,变不对称为对称是解决本题的关键.

二、用根替换方程的系数,变系数的范围为根的范围

例2如果a、b满足条件2|a|<4+b,|b|<4,那么关于x的方程x2+ax+b=0的实根的取值范围是( )

(A)(-2,2) (B)(-1,2)

(C)(-3,2) (D)(-3,3)

分析借助韦达定理，用根替换方程的系数,由已知条件的系数范围转化为所求根的范围.

解设方程x2+ax+b=0的两根为α、β.则由韦达定理,得α+β=-a,αβ=b.

结合条件2|a|<4+b,|b|<4,有

2|α+β|<4+αβ，

①

|αβ|<4.

②

①式两边平方,得 4α2+4β2-α2β2-16<0,即 (4-α2)(4-β2)>0，所以α2<4,β2<4(若α2>4,β2>4则α2β2>16，与②式矛盾,舍去),故α、β∈(-2,2).

三、用方程的系数替换方程的根,变根的范围为系数的范围

例3若关于x的方程x2+ax+b-3=0(a、b∈R)在区间[1,2]上有实根,求a2+(b-4)2的最小值.

解由题意,不妨设方程的两个根为α、β，且α∈[1,2],β∈R.

由韦达定理,得α+β=-a,αβ=b-3.

于是，a2+(b-4)2=(α+β)2+(αβ-1)2=α2β2+α2+β2+1=(α2+1)(β2+1).

结合α∈[1,2],β∈R,得α2+1∈[2,5],β2+1≥1.故当且仅当α=1,β=0,即a=-1,b=3时,a2+(b-4)2取得最小值2.

四、换元构造方程，系数与根相互转换