一线贯通看函数

何君青

近几年来，各地中考加强了对函数的意义和性质的考查，凸显了数形结合思想，增强了对运用函数模型解决问题的意识与能力的考查。这些试题不仅考查了函数的相关概念，还考查了函数与数学其他知识之间的内在联系，如函数与方程的联系、函数图像与几何图形的联系等。本文就以函数中几个容易答错的问题为例予以剖析，以期对同学们的复习有所帮助。

一、借助函数图像分析函数性质

图像以几何直观的方式体现量与量之间的关系，对揭示函数的性质、探索几何图形特征、解决实际问题都具有较好的价值与意义。

例1 已知反比例函数y=1/x的图像上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁2，那么y₁、y₂的大小关系是（）。

A.y₁2 B.y₁>y₂

C.y₁=y₂D.不能确定

【错解】B。

【错因分析】反比例函数图像的增减性是这样描述的：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。做题时，很多同学容易忽视反比例函数增减性中“在每一象限内”这一条件，故而做错此题。

【正解】D。

例2 “如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根。”——苏科版《数学》九年级（下册）P25。参考上述教材中的话，判断方程x²-2x=1/x-2实数根的情况是（）。

A.有三个实数根

B.有两个实数根

C.有一个实数根

D.无实数根

【错解】B。

【错因分析】很多同学做此题时，不能将教材中二次函数图像与x轴的交点问题和相对应的一元二次方程的解的个数问几题迁移至判断方程x²-2x=1/x-2实数根的情况中，从而凭借感觉错选B。

【正解】解决本题，只需画出二次函数y=x²-2x+2的图像与反比例函数y=1/x的图像，再数出图像公共点的个数即可，故选C。

二、利用函数模型解决实际问题

应用函数模型解决实际问题是各地数学中考中必不可少的内容。这类试题主要考查同学们运用函数模型分析、解决实际问题的能力及建模思想。

例3（2018·浙江嘉兴）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示。

（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？

（2）结合图像回答：

①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义。

②秋千摆动第一个来回需多少时间？

【错解】第（1）小题中变量h不是t的函数。

【错因分析】由于我们在初中阶段主要学习三种函数：一次函数、反比例函数、二次函数，故会错误地认为函数的图像不是直线就是双曲线或是抛物线。这是对函数的实质认识不清晰所致。

【正解】（1）因为对于每一个摆动时间t，都有一个唯一的h的值与其对应，所以变量h是关于t的函数。

（2）①h=0.5m。它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度为0.5m。

②2.8s。

例4如图3，AB=5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是________。

【错解】2.5。

【错因分析】很多同学在做此题时，无从下手，凭直观感觉猜测当点P为AB中点时，CF的值最小。

【正解】设AP=x（0≤x≤5），则EF=5-x，FC=5-2x。

CF²=EF²+EC²

=（5-x）²+（5-2x）²

=5（x-3）²+5。

所以当AP=3时，CF有最小值，最小

三、运用函数知识解决综合问题

很多地区的压轴题都以函数为主要知识载体，将众多知识有机联系，着重考查同学们的综合能力，同时对所运用的数学方法提出了较高的要求。

例5如图4，把函数y=x的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图像;也可以把函数y=x的图像上各点的横坐标变为原来的1/2，纵坐标不变，得到函数y=2x的图像。

类似地，我们可以认识其他函数。

（1）把函y=1/x的图像上各点的纵坐标变为原来的______倍，横坐标不变，得到函数y=6/x的图像;也可以把函数y=1/x的图像上各点的横坐标变为原来的______倍，纵坐标不变，得到函数y=6/x的图像。

（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度;③向右平移1/2个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变;⑤横坐标变为原来的1/2倍，纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变。

（i）函数y=x²的图像上所有的点经过④→②→①，得到函数__________的图像;

（ii）为了得到函数y=-1/4（x-1）²-2的图像，可以把函数y=-x²的圖像上所有的点（）。

A.①→⑤→③ B.①→⑥→③

C.①→②→⑥ D.①→③→⑥

【错解】第（1）小题给出解答6，1/6。

【错因分析】由于对题目中的阅读材料理解不到位，认为纵坐标变成原来的6倍与横坐标变成原来的1/6意义一样·这是将生活感受与本题结合的错解，从而导致第（2）小题也会出现类似错误。

【正解】（1）6，6。（2）（i）y=4（x-1）²-2。（ii）D。

（作者单位：江苏省南京市致远初级中学）