对“分类讨论”的再思考

李 湘

(江苏省无锡市辅仁高级中学，214123)

法国著名的数学家笛卡尔曾经说过:“很多时侯,我们需要把你所考虑的每一个问题,按照可能和需要,分成若干部分,使它们更易于解决.”[1]数学解题中,能否既正确又灵活地运用分类讨论的思想方法,可以较好反映数学素养.[2]

为此,笔者结合自己的教学实践谈一些认识和体会,供大家参考,请专家指正.

一、理解导致分类讨论的原因,明确为什么分类讨论

在数学解题时,常见的导致分类讨论的因素如下.

1.由概念、性质和公式引起的分类讨论

数学中的一些概念、定理、法则、性质和公式,受到某些特殊情形的限制,在不同的条件下有不同的结论,这是引起分类讨论的一个重要原因.例如直线方程的概念,零向量的概念,圆锥曲线方程概念，等等.

例1已知直线l经过点Q(-2,3),且在x轴、y轴的截距相等,求直线l的方程.

分析本题条件给出的是截距,故可用截距式来设直线方程.但截距式有一定局限性,即截距必须存在且不为零,所以它不能表示过原点(0,0)的直线.为了数学解题的严密性，需分两种情况讨论.

综上,直线l的方程为x+y-1=0和3x+2y=0.

2.由数学运算特定要求引起的分类讨论

数学中的运算往往有其特定的限制,例如分母不为零、负数没有平方根、指数和对数运算中其底数且a>0且a≠1，等等.解题过程中要突破相应的限制,就要进行分类讨论.

3.由图形位置的不确定性引起的分类讨论

在研究与几何图形相关的问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定),会引起结果出现多种可能,在求解相应问题的过程中,就需要根据所有可能出现的图形位置对各种情况分别进行讨论.这在立体几何和解析几何的问题中较为常见.

综上,

4.由参数的变化引起的分类讨论

求解某些含参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于某种原因对不同的参数取值,需要运用不同的求解方法和策略,例如含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的“量变”,往往使结果发生“质变”,这时就需要分类讨论，达到分而治之、各个击破的目的.

例4设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

解(1)f(x)的定义域为R,关于x轴上原点O对称.下面分两种情况讨论:

当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,易见f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数.

当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.证明如下:

若f(x)为奇函数,则有f(-1)=-f(1),即2+|1+a|=-(2+|1-a|),亦即|1+a|+|1-a|=-4,这样的实数a不存在,故f(x)不是奇函数.

若f(x)为偶函数,则有f(-1)=f(1),即2+|1+a|=2+|1-a|,亦即|1+a|=|1-a|,解得a=0,与a≠0矛盾,故f(x)不是偶函数.

综上，f(x)为非奇非偶函数.

当然，导致分类讨论的原因也不仅限于上述几种情况,还有其他一些方面.例如对于有些较为复杂的、非常规的或综合性较强的问题,求解的结果会出现多种情况或多种可能性.解答这类问题时,往往要根据不同的情况采用相应的不同方法和策略,从而也需要进行分类讨论.

二、掌握进行分类讨论的原则,学会分类讨论的方法

在让学生弄清楚为什么要分类讨论以后,更重要的就是帮助学生掌握进行分类讨论的方法和原则.运用分类讨论的思想方法解决问题时,需要遵循的原则是:分类的对象要确定,分类的标准要统一,不重复、不遗漏.其一般步骤是:(1)明确讨论的对象,确定分类的标准;(2)合理有序地进行分类,做到不重复、不遗漏;(3)进行归纳和总结,得出最终的结果.

例5求函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2的单调区间,其中a≤2,且a≠0.

分析求函数的单调区间,容易想到导数法；再由函数表达式中含有参数a,其导数的符号与a的变化有关,故需要对参数a进行分类讨论.

总之，运用分类讨论的思想解决数学问题时,要注意把好以下“四关”:一是要深刻理解基础知识和基本方法,把好“基础关”;二是要找准分类的对象与划分的标准,把好“分类关”;三是要保证层次分明和条理清晰,把好“逻辑关”;四是要根据题目中的条件进行取舍,把好“验算关”.在此基础上,才能实现分类讨论题型的完美解答.

三、体会简化分类讨论的策略,提升分类讨论的能力

分类讨论是一种重要的数学思想,其功能是“各个击破,分而治之”.然而有时由于难于全面把握分类的原则、标准和方法,使解题过程变得非常繁琐.因此针对具体的问题,还需根据问题的特点和本质,改变思考的视角,处理好“分”和“合”的关系,巧妙地回避分类讨论,通过整体处理来优化解题的过程,提高解题的速度.[3]常用的策略有:直接回避,合理运算,变更主元,数形结合等等.

例6设函数f(x)=x|x-a|+b,设常数b<-1,且对∀x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.

分析本题如果直接做,则需对a进行分类讨论,解题过程比较繁琐.如果能利用分离参数的方法,一方面可以避免对参数a分类讨论，简化解题过程,另一方面也能有效地提高解题的正确性.

解当x=0时,x|x-a|<-b恒成立.

综上，实数a的取值范围为(1+b,1-b).