基于排队理论的超市收银系统的分析与改善

谢富春，彭可乐，王 娟，唐 谦，卿上乐，王先安

(湖南工程学院 机械工程学院，湖南 湘潭411104)

近几年来，网购以井喷之势迅速占领零售市场，对传统零售业带来了巨大的冲击。有必要找到一种有效的方法来改善传统零售业的服务，提高顾客的满意度和降低零售业超市的运营成本。本文以排队论和统计学等方法，根据不同的时间段内顾客的数量，设计合理的收银台的数目，以提高顾客的满意度和降低超市的运营成本。

1关于超市收银系统排队现象的研究现状

有学者研究发现，队伍长度会直接作用于顾客购买率[1-2]。长时间的等待会引起顾客极大的不满[3]，甚至放弃购买行为，离开收银系统[4-9]。目前，相关研究较多集中于银行客户服务系统和通讯营业厅服务系统优化，主要分析了排队论及其主要技术参数，应用排队论来对银行服务系统的等待问题进行分析，并从经济学和运筹学的角度来优化银行服务系统，提高其经济效益[10-12]。

由于针对购物超市优化客户服务系统的研究较少，因此，本文以湘潭某超市的收银系统为研究对象，根据其收银系统存在排队人数较多的现状，运用排队理论[13-16]，优化收银系统，从而提高超市的经济效益和顾客满意度。

2问题现状分析

2.1顾客到达情况数据收集和分析

2.1.1数据收集

以湘潭某BBG超市为例，对现场进行调查。运用常速影像分析法收集以下数据：工作日和节假日顾客数量、收银员的服务时间、顾客的最长等待时间。相关运营数据有：收银台数量为12台，在岗员工16名，工作日营业时间为8:30—22:30，节假日营业时间为8:00—23:00；工作日组14个时间段，节假日组15个时间段。每个时间段随机选取100个5 min的单位时间，统计整理分析，结果如图1和图2所示。

图1工作日营业时间段内顾客到达率Figure 1 Customer arrival rate in business hours of working days

图2节假日营业时间段内顾客到达率Figure 2 Customer arrival rate in holiday business hours

2.1.2顾客到达情况分析

对图1和图2分析。以极大似然法为原则，从直方图与常见的随机分布概率密度函数曲线对比可以初步判定，工作日组和节假日组的顾客到达率可能均符合泊松分布。经卡方检验得知，1)工作日8:30—9:30顾客到达率符合泊松分布，其随机变量服从参数 λ=49.4的泊松分布；2)节假日8:30—9:30顾客到达率符合泊松分布，其随机变量服从参数 λ=74.3的泊松分布。

工作日和节假日各时间段的顾客到达率、收银台开放数目如表1所示，顾客到达率服从泊松分布。

表1工作日和节假日各时间段的顾客到达率与服务台数目Table 1 Customer arrival rate and number of service desks in different time periods of working days and holidays

由表1可知，在不同的时间段，顾客到达速率差别较大，超市开放的收银台数量也不同。如果安排不合理，会造成顾客的长时间等待现象。

2.2顾客服务时间

2.2.1服务时间数据收集

调查发现，收银员的服务时间与顾客所购买东西的商品数量有关。节假日顾客购买的商品数量大于工作日顾客购买的商品数量。所以，将收银员的服务时间分为工作日和节假日2种情况。为便于分析，服务时间分为11个分段，各阶段的服务时间和频数见表2。

2.2.2收银员服务时间研究

1)工作日组。

①从数据的分布来看，工作日的服务时间可能服从负指数分布。

③设计如下假设。

H0随机变量服从参数 λ=0.019 1的负指数分布；H1随机变量不服从参数λ =0.019 1的负指数分布。④分组和计算如表3所示。其中，指数分布的概率密度函数为

表2工作日和节假日收银台服务顾客时间Table 2 Customer service time of cashier on weekdays and holidays

表3工作日组卡方检验指数分布处理表Table 3 Treatment of χ2-test index distribution in working days

工作日卡方检验指数分布处理如表3所示。w为服务时间，fi为频数，Pi为频率，nPi为样本数乘以频率，f(x)为各服务时间与出现概率的关系。表3中，因单项nPi小于5，所以合并区间[90,105]，[105,120]，[120,135]，[135,150]，[150,∞]。最终分组数k=8，变量为1，则该卡方检验的自有度为6，检验统计量为最后一列之和12.591。

⑤结论。使用显著性水平0.05，自由度为4的excel卡方函数获得临界值，即在excel任意单元格输入“=CHISQ.IHV(1-0.05，6)”，获得临界值 χ20.05(6)=12.592，由于12.592＞12.591，所以接受H0，即工作日收银员的服务时间服从参数λ=0 .019 1的负指数分布。

2)节假日组。

同理可得，节假日收银员的服务时间服从参数λ=0 .012 4的负指数分布。

考虑排队系统指标计算的方便，将收银员的服务时间转换为(人/min)，则μ1=1.146，μ2=0.744。

2.3顾客的最长等待时间

将顾客分为工作日组和节假日组，在不同的时间段内随机选取100名顾客，完成调查问卷，结果如表4所示。由表4可知，等待时间为6 min时，节假日组顾客的接受概率为93%，但在等待时间为8 min时降为70%。所以，将节假日组的最长等待时间定为6 min。同理，将工作日组的最长等待时间定为4 min。

表4顾客最长等待时间统计表Table 4 Statistics of the longest waiting time of customers

2.4排队指标的计算及服务强度的研究

由上文可得，超市的收银服务系统为M/M/S/∞的泊松输入-指数服务排队模型。顾客的到达率符合的泊松分布，收银员的服务时间分为工作日组和节假日组，其平均服务率分别服从μ1=0 .019 1，μ2= 0.0 12 4的负指数分布。

通过对工作日组的M/M/S/∞系统指标进行计算可得工作日营业时间内排队系统的指标，如表5所示。其中，S为收银台台数， λ1为平均到达率，μ1为 平均服务率， δ为平均正在服务顾客数，ρ为服务强度，p0为闲时概率，Lq为系统排队队长，L为系统队长，W为服务时间，Wq为等待时间，P(N≥k)为顾客数量不小于稳定顾客人数k时稳态系统中的顾客等候概率，E(V)为期望值， β为平均顾客损失值。

表5工作日各个时间段排队系统的指标Table 5 Indicators of queuing system in each period of working days

同理，可得节假日各时间段排队系统的指标，如表6所示。

从表5和表6可以看出，无论工作日还是节假日，超市的收银台开放数存在不合理之处，具有改善的空间。

表6节假日各时间段排队系统的指标Table 6 Indicators of queuing system in different time periods during holidays

2.5程序设计

针对超市收银系统存在的问题，以事情调度法为原则，利用Matlab 2016b编程进行模拟仿真优化，其具体的运算流程图和动画流程图如图3和图4所示。

图3运算流程图Figure 3 Operation flow chart

3超市收银系统仿真

运用Matlab进行仿真得到工作日组和节假日组各时间段排队系统的指标，如表7和表8所示。

图4动画流程图Figure 4 Animation flow chart

通过分析表7和表8中的数据可知，收银系统处于不稳定状态，服务强度ρ＞1时，排队队长将趋于无限大，收银员劳动强度大，顾客满意度降低，因此，该模型具有较大的改善空间。

表7 改善前工作日各个时间段排队系统的指标Table 7 Indicators of queuing system in each period of working days brfore improvement

表8改善前节假日各个时间段排队系统的指标Table 8 Indicators of queuing system in different time periods during holidays before improvement

4超市排队收银系统改善

为使得不同时间开放的收银台数量合理，在对BBG超市的收银排队系统进行改善时，考虑以下3个因素。1)服务强度ρ＜1，即系统处于平衡状态；2)Wq≤Wmax，即等待时间不大于消费者最长等待时间；3)超市服务台台数为整数。

根据前文数据，运用Matlab对超市收银系统进行优化，结果如表9和表10所示。

以节假日组为例，改善前后对比结果如表11所示。可以发现：

1)优化后的各个时间段都达到了平衡状态，解决了之前系统不平衡的情况；

2)增加收银台数量，使消费者的等待时间变少，增加了消费者的满意度；

3)系统的排队队长小于消费者的可接受最长队长，最大程度避免了消费者的流失，为超市创造更高的利润。

表10改善后节假日各时段系统运行指标优化结果Table 10 Optimization results of system operation indexes in different periods of holidays after improvement

表11节假日组改善前后主要指标对比结果Table 11 Comparison results of main indexes before and after improvement for holiday group

5总结

本文综合考虑顾客和超市两方面利益，建立优化模型对超市各个不同时间段开放的收银台数目进行了优化。从优化过程来看，超市可以增加工作日和节假日高峰期的收银台数目，减少工作日和节假日空闲期的收银台数目。从优化结果来看，根据对不同时间顾客到达率的预测开放不同的收银台数目，解决了因高峰期顾客到达率的增加而导致顾客排队时间过长和顾客满意度不高等问题，提高了超市的经济效益和顾客满意度。