基于遗传算法的外转子PMSM齿槽转矩优化

2020-04-27邹嘉杰赵世伟杨向宇

微特电机 2020年4期

邹嘉杰，赵世伟，杨向宇

(华南理工大学电力学院，广州 510641)

0 引言

永磁同步电动机(以下简称PMSM)具有功率因数高、功率密度高、控制方法成熟、维护性较好及可靠性高等优点，目前已被广泛应用到生产活动中。在某些场合下，如作为轮毂电机、风机时，外转子结构的PMSM比内转子结构的PMSM更为合适。但PMSM存在齿槽转矩，导致其输出转矩发生波动。近年来，PMSM的齿槽转矩削弱问题受到了电机领域许多学者和工程师的广泛关注[1-2]。

目前，已经有不少的文献讨论了影响齿槽转矩的各种参数以及针对齿槽转矩的优化。文献[2]详细地讨论了齿槽转矩的形成以及一部分影响齿槽转矩的参数。文献[3]利用槽口偏移对齿槽转矩进行优化，其结果是从有限元软件仿真而来，并没有从解析法的角度去分析。文献[4-5]系统地介绍了各类遗传算法及其在工程设计上的应用，且讨论了遗传算法优化过程中的一些参数的设置问题。文献[6-7]利用了遗传算法针对各种类型的电机的各类电磁参数进行优化。文献[8]将经典的遗传算法与模式搜索算法结合，当遗传算法生成种群满足一定要求之后，再使用模式搜索算法进行局部寻优，这种方法能在一定程度上增加搜索的精确度。文献[9]运用拓扑学中的不动点定理，构建了一种遗传算法的收敛准则，改进了遗传算法的收敛条件。文献[10]使用了解析法研究了渐变气隙下的齿槽转矩优化，其结果表明非传统结构的气隙会对齿槽转矩产生较大的影响。

本文针对一款集中式绕组的外转子铁氧体PMSM，先使用解析法对其中某些参数进行建模与分析，再结合一种改进后的遗传算法进行优化，在未对电磁转矩产生明显影响的前提下达到了削弱齿槽转矩的效果。

1 齿槽转矩的成因及参数影响

1.1 齿槽转矩的成因及分析方法[2,10]

空载条件下，定子与转子发生相对位移，电机气隙磁场储能将会发生周期性的变化，从而产生磁阻转矩纹波，通常称为齿槽转矩。一般而言，其值可采用虚位移方法求得：

(1)

式中：Tcog为电机的齿槽转矩；W为电机内存储的磁场能量；α为定、转子相对位置角。

电机内存储的磁场能量W可以近似为电机气隙中的磁场能量Wgap，而Wgap又取决于电枢表面气隙磁密的分布。在一般情况下电机的气隙较小，可假设气隙磁密与r无关，因此磁场能量可表示：

(2)

式中:Br(θ)为永磁体剩磁密度沿气隙的分布函数；hm(θ)为永磁体磁化方向长度沿气隙的分布函数；δ(θ,α)为气隙本身的分布函数。

(3)

(4)

式(3)、式(4)中:Br0,Brn,G0,Gn分别为对应的傅里叶系数；G0,Gn的具体形式与气隙本身的分布函数有关；Z为电机电枢的槽数；p为极对数。

将式(3) 、式(4)代回式(2)中，完成积分，再按式(1)对α求偏导，可得：

(5)

式中:Lef为电机电枢的有效轴向长度；对于本文的外转子PMSM而言，R1,in和R2,out分别为转子内半径和定子外半径；n为使nZ/(2p)为整数的整数。

显然，PMSM的齿槽转矩Tcog与电机的几何结构有着密切的关系，因此优化电机的几何尺寸参数尤为重要。本文选择槽口宽度s、永磁体间隙δm以及定子齿面偏心距离a为优化参数。各参数的标注及电机结构如图1所示。

图1 优化参数及电机主要参数标注

1.2 槽口宽度s对齿槽转矩的影响

槽口宽度s的标注如图1所示，为了简化分析，假设电机定、转子间的磁力线只通过定子齿，而不穿过定子槽。由于在槽口正下方的气隙长度并不是无限长(气隙磁密不为0)，因此式(4)左侧可以使用梯形波来近似。当转子任一磁极正对定子任一齿，即α=0时有：

(6)

对式(6)作傅里叶级数展开，有：

(7)

(8)

将式(7)、式(8)代回式(4)中，可得：

cos[nZ(θ+α)]

(9)

式(9)的形式较为复杂，它由两部分组成。直流分量部分对式(5)没有任何影响，因此在分析齿槽转矩Tcog时可以略去这部分直流分量。各次谐波部分是一个复杂的级数，由于该级数的幅值是随n的增大而呈1/n2减小的(受nZ/(2p)为整数这个条件制约，本文所优化的电机n=7,14,21,…)，因此应着重于其低次谐波幅值的优化。但由于这个函数需要代回齿槽转矩表达式(5)中才有求极值的意义，而式(5)的展开式也是较为复杂的，并且这个函数本身也存在与s有关的经验参数A2，因此用一般的求极值方法难以得出其极值点，也难以得出关于槽口宽度s的单调区间。不过，当s=0时，有δ2=δ1，从而A2=A1，式(9)将退化为无槽电机的情形，此时自然是不存在齿槽转矩的，但这种情形不在本文的讨论范围之内。而当s取下式：

(10)

时，可将对应的n次谐波削去。受制于本文所优化电机的槽口加工尺寸，削去低次谐波所需要的s值已经远超出所允许加工尺寸的范围了。

另外，当s减小到一定程度时，电枢齿间漏磁反而会增大，导致实际产生的电磁转矩减小，且过小的s也会使电机电枢绕组加工的难度增加。因此,在优化槽口宽度时还需要考虑额定电磁转矩的允许变化范围以及加工难度。

1.3 永磁体间隙δm对齿槽转矩的影响

永磁体间隙δm的标注如图1所示，根据极弧系数的定义，有：

(11)

式中：D1,in为转子内径。

(12)

对式(12)作傅里叶级数展开，有：

(13)

(14)

将式(13)、式(14)代入式(3)，可得：

(15)

与式(9)类似，式(15)由两部分组成。其中，直流分量部分对式(5)没有任何影响，在分析齿槽转矩时可以略去该部分；另一部分是各次谐波叠加而成的级数(n′的值应为n′=nZ/(2p)，受n的取值制约，本文所优化的电机n′=6,12,18,…)。在这一部分中，在不考虑B2的影响时，其低次谐波分量的单调区间是易求的，因此，在这种情况下，只需要使用普通的求极值方法即可取得不错的优化效果。但由于B2≠0，且B2的值与δm有关，因此也难以使用普通的求极值方法求取最小值。

类似地，当δm取下式：

(16)

时，可将对应的n′次谐波削去(但一般k′不取0或者n′，前者是因为此时不存在永磁体，后者是因为此时不存在永磁体间隙，不满足实际应用场合)。如果只考虑低次谐波的削弱，根据式(16)所得的结果是被允许应用于本文所优化的电机上的。

另外，改变永磁体间隙δm会对电机的主磁通产生较大的影响。为了使电磁转矩不产生较大变化，则需要在后续的优化过程中考虑永磁体间隙δm对电磁转矩的影响。若从这个角度考虑，式(16)的应用就存在局限性了。

1.4 定子齿面偏心距离a对齿槽转矩的影响

定子齿面偏心距离a的标注如图1所示，取一个极距范围进行分析，根据相关的几何关系，可推导出这种结构下定子表面的气隙磁密：

(17)

其中：

(18)

从式(17)、式(18)可得出，一个气隙分布均匀但剩磁密度不均匀的永磁电机可等效为一个定子齿面偏心的永磁电机。但由于该表达式较为复杂，因此难以用解析法进行进一步的分析。

1.5 解析法与有限元法对比

联立式(5)、式(9)、式(15)及式(17) 后，再对参数A2，B2选取合适的经验参数值，绘制本文所优化电机的原始模型齿槽转矩曲线，与有限元法所得曲线对比，如图2所示。

图2 解析法与有限元法齿槽转矩对比

虽然本文的解析模型在周期和幅值上与有限元仿真所得结果非常接近，但是利用解析模型得到的齿槽转矩波形与有限元仿真所得波形并非完全重合，这是由于仿真波形存在着一些该解析模型所不具有的谐波而导致的。本文的解析模型中存在一些经验参数，在对s，δm，a这三个参数进行扫描时，有可能因为这三个参数超出了经验公式的适用范围而导致解析模型失真。另外，在优化齿槽转矩幅值时，需要顾及到输出转矩的幅值不能产生太大变化，而接入激励源后，气隙磁密将会发生一定程度的畸变，使得该解析模型精度进一步变差，且变得更加难以求解。

2 有限元法结合遗传算法优化齿槽转矩

鉴于本文的解析模型存在一定的弊端，选择能针对各种复杂边界条件及非线性铁磁材料进行相对精确的数值计算的有限元法，进行电机的电磁计算。但由于有限元法在精度较高的情况下需要占用大量的运算资源，因此需要结合优化算法，减少优化时间，提高优化效率。

2.1 遗传算法

遗传算法是一种模仿生物自然选择与遗传机制的随机搜索算法。这种算法从一组随机产生的初始解开始搜索过程，初始解也称为种群。种群中的每个个体都是求解问题的一个解，称为染色体。这些染色体在后续的迭代中会不断进行交叉和变异操作而产生新的染色体。通过计算每个染色体的适应度来衡量染色体的好坏以进行选择，适应度高的染色体被选中的概率比较高。在若干次迭代后，整个算法就能收敛到最好的染色体，这个染色体就很可能是问题的最优解或者次优解[4]。

传统的遗传算法，种群的个体数越多，染色体越长，优化算法的收敛速度就越慢。为了加快优化算法的收敛速度，本文对传统的遗传算法做出了一些改进。具体的改动：在每次迭代前，取一定比例的适应值较高的个体直接加入到迭代后的种群中进行下一次的迭代。这种做法可以在一定程度上保持种群中个体最高适应度的下限，改善了因种群中个体过多而导致的算法收敛速度过慢的问题。改进后的遗传算法流程图如图3所示，其中，Gi,kj表示第i代中第j个个体的第k个基因；Pi,kj表示第i代中第j个个体的第k个性状；Xij表示第i代中第j个个体的染色体，dk表示第k个基因的位数。

图3 改进后的遗传算法流程图

2.2 基于改进遗传算法的齿槽转矩优化

本文针对一台12槽14极的外转子铁氧体PMSM的齿槽转矩，选择槽口宽度s、定子齿面偏心距离a和永磁体间隙δm作为优化变量进行优化。电机结构如图1所示，原始参数如表1所示。

表1 外转子PMSM部分原始参数

由于最终目标是使该电机的输出转矩波动较小，同时使输出转矩变化不能过大，因此不能仅考虑极小化齿槽转矩。目标函数可以构造为下式：

M2max{0,Tem-Tmax}

(19)

式中:M1,M2是充分大的数；[Tmin,Tmax]是Tem允许变化的范围(本文取(1±0.05)Tem)，这样构造的目的是使目标函数带上惩罚项，当种群中某些个体的电磁转矩在允许范围之外时，其对应的目标函数会变得非常大，从而使适应度变得非常小，在若干次迭代后该个体被取代的概率会非常大。

在电机的实际加工中，所选的参数存在一定的加工范围，因此约束条件可写作下式：

s.t.amin≤a≤amax

smin≤s≤smax

δm,min≤δm≤δm,max

(20)

综上，本文优化目标的最终数学模型如下：

10 000max{0,Tem-Tmax}

s.t.1≤a≤5

1≤s≤5

0≤δm≤32

(21)

3 优化结果分析

根据表1的相关参数，利用有限元仿真软件建立2D电磁场模型，如图4所示。

图4 外转子PMSM初始仿真模型

本文所用改进遗传算法的参数设置：种群个体数为10，交叉率为25%，变异率为1%，采用二进制染色体编码，染色体位数为48位，其中各项优化参数各占16位，迭代次数为100次。优化结果如图5所示。

图5 改进遗传算法优化结果

图5是使用该算法的优化结果。从图5可得出，本次使用修改的遗传算法收敛速度较快，在第20代时目标函数值已经与最终的结果非常接近。不过由于在迭代过程中染色体会发生交叉和变异，因此,即使在代数较大时也会产生适应度较低的个体，从而使目标函数的平均值变大。但由于该改进后的遗传算法在每次迭代时均保留了上一代的部分适应度较高的个体，因此每代最优个体的适应度均不低于上一代个体的适应度，从而不会出现下一代的个体均比上一代差的情况。

图6与图7分别为优化前后的齿槽转矩以及电磁转矩波形对比图。可见,在优化之后，电机的齿槽转矩有了明显的减小，电磁转矩的波动也获得了明显的改善。将图6、图7中的关键数据总结如表2所示。