基于HPM的数学教学设计探析——以“平行线的性质”为例

钟志华 周美玲 (南通大学理学院 226019)

袁伟楠 (南通大学教科院 226019)

1 地位与作用

本设计选自人教版《数学》七年级(下册)第五章第2节“平行线的性质”．它是在学生已经学过平行线的概念和判定定理基础上对平行线的进一步深入研究．图形的性质研究图形构成要素之间的关系，它和图形的判定是几何图形研究的两个重要方面．平行线的性质是学生对图形性质的初次系统研究，对今后学习其他图形的性质有示范作用．平行线的性质是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单逻辑推理的素材，它不但为三角形内角和定理证明提供了转化方法，而且也是今后学习三角形、四边形、平移及立体几何、解析几何等知识的基础．另外，由平行还可以进一步演绎出平移、移植等重要思想方法.由平行线引出的平移变换作为一种基本而重要的变换在数学知识的学习中具有非常广泛的应用，通过平移可以将各种复杂函数转化为简单函数来研究，如将一般二次曲线转化为标准二次曲线来研究，将一般三角函数转化为基本三角函数等．而若将平移这一方法再作进一步推广,则又可以得到科学研究中的一种重要方法——移植方法．如可将研究指数函数的方法应用到对数函数、三角函数、反三角函数等许多函数的研究中，或将椭圆的研究方法移植到双曲线、抛物线的研究中，还可将数学的研究方法移植到物理、化学等学科……

分析依据 美国著名教育家奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》的扉页上曾经写到：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么．要探明这一点，并应据此进行教学．”[1]教材地位分析的本质就是要通过揭示新旧知识之间的联系为新知识的学习找到恰当的认知起点．就本节课而言，既可以平行线的定义作为认知起点，也可以平行线的判定定理作为认知起点，还可以学生的生活经验作为认知起点．

HPM的最重要价值就在于它可以充分揭示数学知识的来龙去脉，为教材地位与作用分析提供清晰的分析框架．事实上，数学史就如同一个坐标系，它可以为分析者准确了解学习者的认知结构在数学史中所处地位提供参照．比如《几何原本》中一般都会介绍某定理在证明过程中用到哪些已有定理、公理或公设，同时还会介绍它在后续的哪些定理的证明过程中被用到．这本身就是一个现成的教材地位与作用分析模板，虽然不一定照搬照抄，但对现在的教材地位与作用的分析还是很有启发的．

不过，数学史更有价值的还是启发意义．比如关于平行线的定义，历史上曾经有过很多说法，如等距离定义：“平，等高也”(墨子);若两条直线彼此处处等距，则称它们为平行线(巴蒂).又比如目前教科书中普遍采用的“不相交定义”：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.再比如“同方向定义”：在空间中具有相同方向的两条直线称为平行线.此外，还有“无倾斜定义”：彼此没有倾斜的直线称为平行线．充分了解这些定义，不仅有利于教材编写者编写出更加合理的教材体系，而且有利于教师根据学情灵活地进行教学设计．

2 学情分析

从学生的已有知识和经验看，学生之前已经系统学习了相交线、同位角、内错角、同旁内角等概念及对顶角、邻补角的性质，这些为本节课的学习奠定了良好的知识基础；另外，学生之前已经初步接触了演绎思想并具备了初步的说理和推理能力，这些都为平行线性质的探究提供了能力和方法上的保障．但对图形性质的研究之前很少，学生对研究过程和研究方法都比较陌生，需要教师进行恰当引导．

作为培养学生推理能力的内容，对于性质2和性质3的推导，学生可以做到“说理”．但把推理过程从逻辑上叙述清楚还存在困难，需要教师先示范，学生再模仿．关于推理过程的符号化，对于刚刚接触平面几何的初一学生而言，具有一定的难度．为此，在推理过程符合逻辑的前提下，对于学生在证明过程中使用文字语言或符号语言来进行表述的方式不作限制，而更多关注学生对证明本身的理解．

分析依据 HPM可以为学情分析提供参照．重演论认为，个体数学理解过程与数学历史发展过程具有相似性．学生的错误和认知障碍与数学史上的错误和认知障碍是有关联的，了解历史上的重要时刻可以为教师提供预测学生认知障碍的工具．[2]在《几何原本》中平行线性质的得出不仅要用到第五平行公设、三角形的外角大于任一不相邻的内角(这一条可以不用)等知识，而且还要用到反证法及分类讨论思想[3].充分了解这些知识的数学历史，可以为教师准确分析学情提供很好的参照．

3 教学目标设计

基于以上的教材地位、作用与学情的分析，我们将本节课的目标确定如下：

(1)通过观察、操作、反思、推理等数学活动理解平行线的性质，能运用平行线的性质解决简单的数学问题或实际问题．

(2)经历平行线性质的探索、发现过程，感受分类、推理及化归等重要数学思想，认识到地位不同的数学知识的学习应采取不同的方法来进行．

(3)充分挖掘《几何原本》和“第五平行公设”这一数学文化的教育价值，在欣赏数学文化博大精深的同时感受和体验数学知识的逻辑性与数学美，逐步提升数学核心素养．

分析依据 HPM方法不仅可以为教学目标的设计指明方向，而且可以为判断教学目标的合理性提供可靠的标准．以往的教学一般是通过直接作图、观察、测量、验证或从平行线的判定定理出发先猜想、再验证的方法来进行教学的．这种四平八稳式的教学设计虽然充分考虑了学生初学几何困难较大的实情，但忽视了数学知识本身的特点．从平行线性质这一数学知识的发展历史来看，平行线性质的推导要以“第五平行公设”为基础，特别是“两直线平行，同旁内角互补”这一性质在某种意义上可看做是“第五平行公设”的逆否命题，而“第五平行公设”不仅对《几何原本》的构建具有重要作用，而且对非欧几何的产生与发展具有非常深远的影响．因此，在平行线的教学过程中教师应该因材施教，通过充分挖掘《几何原本》和“第五平行公设”这一数学文化的教育价值，让学生徜徉在数学历史长河中深刻感受和体验数学知识的逻辑性与数学美，这是本节课的核心教学目标，同时也是本节课的灵魂．

从平行线性质的探索、发现过程中不仅可以让学生初步感受分类、推理及化归等重要数学思想，而且可以认识到因材施学的重要性，即地位不同的数学知识的学习应该采取不同的方法．这也是本节课的重要教学目标之一．

4 教学重、难点分析

(1)教学重点：平行线第一条性质的探索与发现过程；感受和体会平行线性质中所蕴含的数学文化．(2)教学难点：平行线第一条性质的探索与发现过程．

分析依据 从HPM视角看，教学重点往往是在数学发展历史中具有重要地位的那些知识．前已指出，平行线性质不仅是整个平面几何的基础，而且它对解析几何、立体几何及其他数学知识的学习都具有十分重要的作用．而在平行线性质这一节，平行线第一条性质的探索与发现过程是基础、是重点，也是难点，因为其他定理都可以很容易由它直接推导出来．

5 教法、学法分析

(1)本节课主要采用问题解决教学法与启发式教学法来进行教学.

分析依据 问题解决教学是教师通过创设问题情境，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程．杜威认为，问题解决教学法一般包括“情境、问题、猜想、推理、试证”这五个阶段．问题解决教学法不仅可以让学生更加深刻地了解知识产生和获得的全过程，而且可以让学生在此过程中掌握科学研究的一般方法，获得探索发现的成功体验．本节课中无论把平行线的哪个性质作为探索起点，都应该让学生在充分探索的基础上自然而然地产生出来，而不应该由教师强加给学生．要实现以上目标，教师不仅需要采用问题解决教学法通过精心创设问题情境来引发学生发现问题并提出问题，而且还需要巧妙设计具有启发性的问题来让学生发现并验证猜想．

(2)本节课的学法主要有观察、操作、思考、猜想、验证等方式.

分析依据 能在数学史上占据一定地位并能流传下来的往往是精品，选择教法、学法可以从HPM中获得启示．从历史上看，许多学生从《几何原本》定理Ⅰ.6开始便出现困难(平行线的性质是定理Ⅰ.29)，七年级学生刚接触推理证明，学生的数学抽象与数学推理能力还比较薄弱．因此，在教学中应充分依托观察、实验等学习方式来发展学生的猜想、推理能力．如果以平行线的判定定理作为认知起点，那么可以根据原命题与逆命题之间的内在联系，让学生通过“猜想-验证”的方法来进行教学；如果学生的基础比较薄弱，则可以采用先画平行线，然后再让学生观察、测量同位角、内错角或同旁内角之间的关系来发现平行线的性质；而如果学生有一定的数学史基础，则可以利用“第五平行公设”这一数学史料并通过演绎的方法来进行教学．

6 教学过程设计

6.1 情境创设

首先向学生呈现一段数学史料：我们现在学习的几何学起源于古希腊，“七贤之首”泰勒斯最先提出了演绎推理的思想，他认为几何命题的正确性不能仅仅通过验证来确认，而必须以有限的、大家公认的原理(公理)或假设(公设)为出发点通过严格的逻辑推理得到证明才能确认．后来毕达哥拉斯、欧几里得等数学家提出了5条公理、5条公设，其中有一条在数学史上很有名，那就是第五平行公设，公设的内容是“同平面两直线与第三直线相交，若其中一侧的两个内角和(同旁内角)小于二直角(180°)，则该直线必在这一侧相交”.欧几里得认为该公设可以通过前面的5条公理或4条公设推导出来，但他自始至终都没有证明出来，后来很多数学家都一直想证明他的这个想法，但始终无功而返……在学生正享受穿越数学时空美妙体验之际，教师适时抛出问题：假如知道第五平行公设，那可以由此得出什么结论？

分析依据 HPM不仅可以充分揭示数学知识的来龙去脉，为新知识的生成找到恰当的认知起点，而且可以触发情境创设的灵感．这里采用附加式[2]创设数学史情境，并由该情境自然引出本节课所要研究的问题，主要基于以下考虑：平行线性质的引入，一般教材采用的都是让学生先画平行线，再画一条直线与这两条直线分别相交或从平行线的判定定理入手通过逆向思维来猜想平行线的性质，然后分别测量其中的两个同位角并观察它们之间的关系，在归纳的基础上发现(或验证)同位角相等，最后再通过演绎方法证明性质2和性质3．前一种处理方法的优点是形象、直观且比较符合学生的认知水平；后一种处理方法的优点是渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，有利于保持知识的连贯性.两者的不足之处：一是割裂了知识之间的内在联系，使得平行线的定义在整个知识体系中变成孤岛；二是性质1只能验证不能证明．而如果通过数学史上的第五平行公设来引入，一方面，可以利用定义推导出“两直线平行，同旁内角互补”这一性质，使平行线的定义不再沦为摆设；另一方面，可以还数学知识发展的本来面目，可以借鉴数学知识发生发展的内在逻辑来促进学生理解；此外，还可以充分挖掘第五平行公设背后的数学思想和教育价值，并利用数学史来激发学生的学习兴趣并拓宽学生的知识面．不足之处是探索过程和证明方法对初学者具有一定的难度．基于以上分析，创设这样的教学情境从培养学生探究能力的角度看还是有一定价值的．

6.2 探索新知

假如学生能很顺利地猜想出“两直线平行，同旁内角互补”，那教师可以追问“你是怎么想到的？”“你能验证或证明你的猜想吗？”“你准备怎么验证或证明？”；假如学生有困难，教师可以这样启发学生：“由第五平行公设你能联想到什么？”或更进一步启发：“第五平行公设中有哪些我们熟悉或相似的关键词？”“由这些关键词你能联想到我们曾经学过的哪些知识？”；如果学生还有困难，教师可以将问题提得再具体一点：“这两个内角之间有什么关系？”“我们之前有没有研究过它们之间的关系？”“什么时候研究过它们的和？”“这和之前所学的知识之间有什么区别与联系？”……通过这样循循善诱的提问，学生应该能够猜想出“两直线平行，同旁内角互补”这一结论．

分析依据 杨玉东博士曾经提出：“要以本原性问题来推动数学教学．”数学史是数学的根，它不仅充分揭示了数学知识的来龙去脉，而且可以为数学知识的探究指明方向，可以通过对历史上各种探究方法的优劣比较作出最佳选择．因此，在进行数学探究中教师应充分回归数学知识的产生与发展历史，并从数学史中找到探究的思路和具有启发性的数学问题．

另外，在探究过程中还用到了元认知提问．元认知提问是涂荣豹先生基于杜威的“暗示”概念和波利亚的元认知思想提出的一种启发式教学方法．元认知提问通过设计由远及近、由暗到明的一系列问题串来对学生进行循循善诱的启发，让学生在教师的不断启发下最终获得发现．[4]这种提问方法不仅可操作性强，而且效果十分显著，值得在教学中大力推广．

6.3 验证猜想

发现猜想以后很自然的就是要验证猜想．此时，教师可以承接上一节的追问并引导学生通过观察、实验及运用几何画板等方法来对提出的猜想进行验证．这方面学生在小学阶段就积累了比较丰富的经验，一般不会存在困难．验证完猜想以后，教师可以向学生进一步提出证明猜想的问题．这不仅关系到平行线性质的严谨性问题，更重要的是要培养学生的推理意识．至于学生是不是能够证明，那可以视学生的具体情况灵活应对．

平行线性质的证明既可以从同位角相等入手，又可以从内错角相等入手，还可以从同旁内角互补入手．《几何原本》中是从内错角相等入手的，在实际教学中教师可以采从同旁内角互补入手，这样不仅更自然，而且也比较容易理解．下面是“两直线平行，同旁内角互补”这一定理的证明．

图1

如图1，若∠1+∠2≠180°，则∠1+∠2<180°或∠1+∠2>180°．若∠1+∠2<180°，则直线a,b在这一侧相交；若∠1+∠2>180°，则由∠1+∠4=∠2+∠3=180°，得∠3+∠4<180°，从而直线a,b在另一侧相交．这与已知条件a∥b矛盾，这说明∠1+∠2≠180°这一假设不正确，从而∠1+∠2=180°．

分析依据 虽然教材中平行线的第一条性质只需要验证，不要求证明．但从问题解决教学法的一般过程来看，这一环节还是不可或缺的．因为证明不仅可以向学生渗透科学研究的一般方法，而且可以培养学生的数学推理素养，同时在证明过程中还可以让学生初步感受反证法思想．当然，学生如果觉得证明确实有困难，教师可以对学生进行充分启发或适当降低要求，如将推理改为说理或将证明改为验证．

6.4 拓展应用

数学命题的教学一般包括命题的发现、命题的证明和命题的应用这三个阶段．命题的应用不仅可以对已学命题进行巩固与评价，而且可以深化理解并充分发挥命题的应用价值．

图2

例1已知：如图2，AB∥DE，DF∥BC，∠1 = 69°，求：∠2和∠3的度数．

设计意图例1是平行线性质的直接应用，它既考查学生对性质1的掌握情况，而且还考查学生的综合能力．

图3

例2如图3，在四边形ABCD中，已知AB∥CD， ∠B=60°．

(1)求∠C的度数.

(2)由已知条件能否求得∠A的度数？如果能求，请说出你的解法；如果不能，那你能不能通过添加条件求出∠A的度数？

设计意图问题(1)考查的是学生对性质3的掌握情况；而问题(2)则是一道开放题，它不仅考查学生的图形识别能力，即要能正确识别出哪些同旁内角是由哪些直线构成的，而且还考查学生的逆向思维能力和分析问题的能力．

图4

例3如图4，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．

(1)∠1,∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？

(2)反射光线BC与EF也平行吗？

设计意图本题是平行线性质在现实生活中的具体应用，主要考查学生利用所学知识解决现实生活中的问题的能力，同时也体现了数学的价值，不仅有利于激发学生的学习兴趣，而且有利于培养学生的应用意识．

6.5 归纳总结

课堂小结时，教师可以提出下列问题引导学生总结本节课所学的知识：

(1)通过平行线性质的学习，你学到了什么？

(2)这节课所学的知识与以前学过的知识之间有什么区别与联系？

设计意图问题(1)的目的是引导学生系统梳理本节课所学的知识，用“你学到了什么？”这种形式来提问可以使问题变得比较开放，既可以考查学生的知识与技能，也可以考查过程与方法、情感态度与价值观等方面.这不仅有利于提高学生的自我评价能力，而且有利于提升学生的数学核心素养．问题(2)的目的是要引导学生将本节课所学的平行线性质与上节课所学的平行线判定进行比较，从中找出彼此之间的区别与联系．这一方面有利于促进学生认知结构的优化；另一方面，它可以培养学生反思、总结的习惯．