初中数学建模教学要重视教学分析——以七年级下“生活中的不等式”为例

周秀梅 (江苏省苏州市振华中学校 215004)

1 问题的提出

“数学建模”是数学核心素养之一，之所以突出其核心地位，是因为数学建模的教学目标、教学方法和教学原则都将围绕着培养创新人才的教育目标而进行，让学生真正地学到“有用的数学”，懂得数学是人类文化的重要组成部分，数学是联系人类与现实世界的桥梁．模型思想是修订的《义务教育数学课程标准(实验稿)》新增的核心概念，具体表述为：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径．建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识．[1]

初中数学建模教学一般是先提出问题，然后引导学生在探究质疑、合作交流的活动中发展数学思维．实践表明，课堂的轰轰烈烈并没有从根本上提升学生数学建模的能力[2].因此，我们应该从对教学内容的价值与功能进行分析，以此提升数学建模教学的有效性．本文拟以苏科版数学教材七年级下册第11章第1节“生活中的不等式”为例，谈谈初中数学建模教学如何对教学内容进行分析．

2 基于“三个理解”对教学内容的分析

2.1 充分挖掘教学内容的教学价值

本节课的核心知识是“不等式”，教学重点是“通过实例感受到生活中存在大量的不等关系，探索和建构刻画不等关系的数学模型——不等式，并初步学会运用不等式表示常见的不等关系”.教学难点是从现实情境中抽象出表示不等关系的符号语言，以及对数学符号理解与运用．当然，在小学阶段学生已经了解了“<”“>”的表征意义，但对于“≥”“≤”和“≠”的意义却可能是模糊不清的．

由于学生已有认知结构中对等式已经形成稳定的理解，而且“等式”与“不等式”是具有“同构”特征的两类数学模型(无论是数量关系、概念还是表示方法以及性质)，所以，我们完全可以通过本课的教学，让学生从结构的角度站在更抽象的高度感受两个不同系统之间的共性特征．正是由于不等式与等式之间有着如此强烈的“对应”属性，运用已有活动经验(“等式”的相关建构活动经验)进行类比建构，形成对不等式的数学建构理论以及数学理解．“等式”是刻画相等关系的数学模型，而“不等式”是刻画不等关系的数学模型，因此，不等式的学习过程是数学建模的又一次经历，是使学生感受“模型化”这一数学重要特征的最佳时机．本节课的教学就应该让学生充分经历“类比”这一重要的合情推理过程，感受合情推理在探索与发现“不等关系”中的作用，当然这也是从一个模型向另一个模型过渡和突破的思维进阶过程．

另外，不等关系的引入，使学生还认识到了数量之间除了相等关系外，还可以存在着不等关系．于是，从集合的观点看，刻画相等关系的数学模型(等式)与刻画不等关系的数学模型(不等式)就各自形成了自己的集合，这两个集合既不相交，又存在密切联系．教学过程中渗透集合思想也就成了隐性的教学维度，学生在这样的认知系统感受到数学建模中蕴含着深刻的数学思想．对于很多的不等关系，在进行数学表示时需要先引入字母表示相关的量，于是这样的过程就自然地成为了渗透代数思想的极好契机．

综上所述，“生活中的不等式”虽然内容不是很多，也不是很难，但在数学建模的过程中蕴含的数学思想方法却十分丰富，其教学价值也就不可低估了．

2.2 重视数学对学生的已有认知的研究

(1)从认知基础层面考察

在教学设计时，需要对学生的认知基础进行全面的分析与研究．就知识层面而言，首先，学生知识结构中已有与本节课的学习内容有关的事实性知识包括“相等关系”“用等式表示相等关系”“方程是通过相等关系建立的数学模型”“不等号‘<’和‘>’”等等．其次，学生已经有了建构“等式”“代数式”“方程”等数学对象、数学模型的过程性知识，经历过从相等关系到建构刻画相等关系的数学模型(等式)的过程，这样的认知基础对于学生自主建构刻画不等关系的数学模型(不等式)是非常重要的．

当然，教师不仅应该了解这一年龄段的学生的认知基础的一般性状况，而且要分析所教班级学生的学习基础和学习能力的实际情况，通过合理的前测活动进行复习与补位，以确保学生在本节课的活动中不能因为“前相关知识”而影响新知识的学习．

(2)从表征层面分析

尽管我们强调学生的充分的认知基础，但这并不影响学生所应该经历的必要的心理表征过程，即感受背景(不等关系的情境)，产生反映，激发需求(数学地刻画不等关系的认知倾向)，形成问题，探究分析，再数学建构的过程．因此，有层次地展开教学过程是遵循学生认知规律的必然要求．根据皮亚杰发生认识论原理，初一下学期学生的认知水平已到了具体运演阶段的后期，并进入形式运演阶段.在这个阶段，学生已经有能力“处理假设而不只是单纯地处理客体”；其提出的假设“并不只是客体，而可以是命题，假设的内容则是类、关系等等的能够直接予以证实的命题内运演”．这说明，这一时期的学生应该有能力进行数学抽象以及形式化的思维活动，完全能够自主建构“不等式”这样的数学模型．我们不仅要了解这一年龄段的学生的认知能力的一般状况，也要明确所教班级的学生的实际情况，以使教学设计更加适合“具体”的学生群体．

3 细化教学活动的设计

对教学内容、学生认知结构分析后，接着就是针对具体情况进行教学活动与教学过程的设计了．笔者认为，在活动设计上要结合细化教学活动的每个环节，重视活动设计的可操作性和有效性．

3.1 问题链的设计

由于核心概念是教学的中心，因此教学设计的首要问题就是围绕核心概念设计一节课的问题链．问题链中的第一个环节是初始问题，这个初始问题应该是基于学生已有认知结构而“自然”提出来的，比如：

我们学习过相等关系，相等关系可以用等式表示，那么，在自然与生活中，“两个量之间除了相等关系是否存在不等的关系呢？”

在充分感受不等关系的基础上提出本节课的主问题：“如何数学地刻画不等关系？”

在引入并充分认识用不等式刻画不等关系后，我们还可以通过合适的问题提出后续教学的研究主问题：“怎样用不等式解决与不等关系有关的实际问题？”

3.2 概念呈现方式的设计

一般而言，呈现方式取决于新知识的生长点，设置的情境应具有知识生成的导向功能.如果是那种陌生、语言啰嗦的情境，学生是很难从中找出表达不等关系的词与句的：由于其中蕴含的不等关系较为隐蔽(如“从多少到多少”的句子中让学生看不等关系是不容易的，因为从学生的认知习惯看，这就是个范围，与不等关系还难以对接)而使学生“感受”的难度加大．

图1

由前文中对教学内容的分析可知，就逻辑关系上看，等式应是不等式的自然生长点．因此，完全可以先设计一个简单的情境(如天平两边分别放有质量相同的3只苹果与质量相同的2只梨，天平平衡)，让学生回忆起相等关系，并回顾与此相关的知识建构过程(图1)．

3.3 问题情境的设计

接着，将情境作适当变化，将相等的关系“打破”，提出新的问题(如将放苹果的一边拿去一只苹果，使天平发生倾斜，提出问题：天平为什么倾斜了)，并用自然语言表述其原因(例如，2只苹果的质量不等于2只梨的质量、2只苹果的质量小于2只梨的质量等)．接着再举一些学生易于感受的不等关系的例子，并用自然语言予以表述．这个过程中，所举的例子要丰富，要贴近学生的生活与认知，而且要力求包含各种情形，以便于运用或引入几种常用的不等号．至此，给出说明：同类量之间除了具有相等关系外，还存在大量的“不相等”的情形，这些不相等的情形所反映的同类量之间的关系就是不等关系，让学生经历了数学抽象和建模的初始阶段后再让学生列举其所熟悉的不等关系的例子．在学生对不等关系有较充分的认识后，提出本节课的主问题：怎样用数学的语言表示不等关系呢？

3.4 突出重点的过程性设计

图2

“用不等式表示不等关系”是本节课的教学重点，因此让学生充分经历其形成过程就显得尤为重要．上面已经设计了从相等关系开始的“用等式表示相等关系”的知识结构的复习过程，再到不等关系的感受过程和用自然语言表示不等关系的过程，再到如何用数学语言刻画不等关系的过程，到此，可以让学生充分活动(思维活动、尝试将已列出的不等关系用数学式子表示、相互讨论、合作交流等)，使其借助相等关系的知识结构建构起不等关系的知识结构(图2)．

在上述过程中，教师应该在关键的时候介入学习、研究的过程，如新不等号的引入、其意义的说明等，必要时还应该作细致的讲解．如对“≠”，可以说明a≠b，意思是a可能大于b，也可能小于b，但不可能与b相等，甚至可以让学生判别对a,b取确定值的情况下不等式是否成立．同时，教师还应该让学生将自然语言表示的不等关系与用不等式表示的不等关系进行比较，让学生感受数学的“简洁美”．然后，给出一些式子，让学生进行分类：哪些是不等式？哪些是等式？最好以韦恩图的方式让学生将相应的元素移入相应的框图内，再次渗透分类思想与集合思想．

为了强化用不等式表示不等关系的能力，可以再做一些相关练习，如数学表示公路限速标记等．这些练习中有些是可以直接表示的，有些需要设出相应的量才能表示出来．最后再进入到用连不等式表示不等关系的问题．

4 数学建模教学的几点建议

4.1 数学建模必须让学生经历数学抽象的过程

一般而言，数学建模教学的组织方式有先进行模型教学，再利用模型解决实际问题；或者先将实际问题进行抽象，再对抽象的问题进行知识教学，最后解决具体的数学问题.无论是哪种方式，都有必要让学生参与到原始的模型抽象中来，让他们用简化的数学模型表达原始问题，这样，才能使他们的建模经验完整.在对模型进行解读的过程中，也要尊重学生已有的认知经验，要对他们的理解中不合理之处进行解释与纠正，这是对他们知识经验的补充，也是对学生已有经验的重整．

4.2 建模中要重视代数模型与几何模型相结合

从问题的抽象角度看，学生往往对几何模型的疑惑或困难要多于代数模型，因此，在代数模型的教学中可以针对同一模型设置不同的情境(如本节课)，对模型加以训练；几何模型的教学中，则可以将重点放在对同一问题的不同抽象效果的评价上．从认知经验的角度看，学生的代数经验主要依赖于数值计算以及归纳推理，几何经验则受到生活经验的影响，素材比较丰富，问题容易表征，因此，在活动中更应多考虑几何模型问题．但从成果来看，问题解决的时候却往往不仅仅用了一类模型，更多地是两者的相结合．

4.3 重视学生自主的建模活动与评价

诚然，课堂中要重视数学建模的教学，但数学建模素养的形成是一个长期的由外而内的过程．学生通过课堂学习已经获得了进行数学建模活动的基本活动经验，但还需要他们在课余时间运用自己的经验对所遇到的生活问题进行有意识的建模，运用数学的眼光看问题，运用数学的方法解决问题，久而久之，形成真正意义上的数学建模素养．