基于数学核心素养的情境化试题的创新设计

2020-04-23安学保山东省济南市教育教学研究院250001

中学数学月刊 2020年3期

安学保 (山东省济南市教育教学研究院 250001)

1 情境化试题设计的现实意义

《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数学文化融入课程内容，界定了数学学科核心素养的成分，包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析，并要求创新评价的形式和方法，把知识技能的评价与数学学科核心素养达成状况的评价有机融合，完成课程标准中提出的学业质量要求，落实立德树人的根本任务．

核心素养应通过学生在应对复杂现实情境时的外在表现加以推断．教育测量学认为，真正对知识的较高层次的运用是在新情境中对相关原理的运用．情境试题有别于经验类型试题(无法形成解题障碍点，例如可以通过题海战术训练解决)和方法类型试题(一般在解题过程的中后端形成解题障碍点)，往往在解题的前端形成障碍点．在考查内容基本稳定且考生群体存在通过“题海战术”训练备考的情况下，情境化试题对能力的测评更为准确．情境化试题能够较好地体现“能力立意”“素养立意”的命题指导思想．

2 情境化试题的特点及设计原则

立意是试题的灵魂，体现了试题的测试目的．试题立意体现试题设计者的考查目标，是指导整个试题设计的基本思想，是背景材料选取和情境设置共同围绕的主题．

情境化试题即以情境为基础设计的试题．试题情境是试题的材料和介质，为学生提供一个有待解决的问题，直接体现试题立意．试题情境材料的甄选应基于考生认知发展水平设置适恰的“既熟悉又陌生”的试题情境．情境背景材料中存在的挑战和需求是潜在的、多样的，要通过情境的设置才能得以明确和提出．试题立意不清，考查目标就很难实现．

情境化试题既有利于知识运用与问题解决能力的考查，又有利于学生对知识意义的理解和积极的情感、正确的价值观的养成．情境化试题是培养学生知识运用和独立思考能力的重要工具，能够更深入地考查学生知识的迁移与运用能力，更有效地促进学生学科能力与学科核心素养的提高．

3 情境化试题设计举例及分析

为培养和考查学生运用知识的能力，建立起知识和生活之间的桥梁，试题背景的构建需要考虑材料的真实性和广泛性，通过设置一系列基于广泛背景的情境化试题，使考试更加接近学生在现实生活中面对的复杂环境．

3.1 以数学史为材料背景创设试题情境

数学的发展史揭示了数学科学发展的规律、精髓和文化本质，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这一过程的各种因素．以数学史为材料背景设计的情境化试题，不仅可以引导学生理解数学、热爱数学，还可以让学生受到科学方法论的启迪，从而更好地培养正确的数学观．尤其是试题情境中优秀的中华传统文化背景，还可以增强学生的民族自豪感和责任感，提升学生的爱国主义情感．

例1我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形图表，我们通常称之为杨辉三角．图1所示的数表的构造思路就来源于杨辉三角．

图1

图1中从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )．

A．2 018 × 21 008B．2 018 × 21 009

C．2 020 × 21 008D．2 020 × 21 009

试题情境的设计思路源于《九章算术》中的杨辉三角，要求考生以杨辉三角为背景知识，通过阅读题目中提供的数表，理解数表呈现的规律，借助数列的基本知识和基本研究思路寻找答案．试题考查学生观察、归纳、猜想的思维能力，重点考查学生的逻辑推理、数学运算两大核心素养．通过试题情境的设计，使学生再次感受计算数学中的“数形结合”，并且深刻认识到中华民族优秀数学传统文化中注重算法的特点．

例2祖暅著《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异．”这是我国古代多位数学家不断探求才得出的祖暅原理，是求几何体体积的强大定理．如图2，半径为R的半球，势为h时幂为π(R2-h2)，可用它求出球的体积．请仿此解决以下问题：如图3，有一个半径为R的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为r的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球．由对称性，我们考虑该几何体的上半部分，与中心O距离为h(势)且与中心轴垂直的截面面积S(幂)易求，则新球的半径为______________．

图2 图3

立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容.本题设计的情境背景取自于一个涉及求几何体体积的著名命题——祖暅原理，试题以简单几何体的体积公式为知识载体，融入积分的相关内容和研究方法，对学生的直观想象和数学运算等核心素养进行了较好的考查和评价．

数学史是数学文化的重要载体之一，在创设试题情境时，要注意涉及的数学史和数学文化背景必须符合学生的认知水平，要选择与中学数学内容结合紧密的素材，使学生能够利用所学的基本知识和基本方法解决问题.试题考查的着力点应该放在数学文化背后所蕴含的数学思想和数学方法上．

3.2 以生产、生活和实际应用为背景创设试题情境

数学在生产、生活实际中有着广泛的应用.在大数据时代，数据挖掘、人工智能等科学技术兴起，数学在各个行业中的运用更加地深入和具体，这些都为情境化试题的设计提供了丰富的素材．这类情境化试题能较好地考查学生运用所学的数学知识解决应用性问题的能力，突出考查学生的数学建模和数据分析素养．

例3某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图4所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．

图4

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元；若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图5是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．

图5

以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．

(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；

(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数，若m+n= 28，且n∈ {5, 6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m,n的值．

本题是一道具有真实情境的数学应用题，与实际生活密切相关，综合性强，对学生各方面的能力和素养都提出了较高的要求．本试题的呈现形式包括了文字语言、图表语言、数学语言，不仅对学生文字语言的理解、抽象和转化能力进行了考查，还对学生从图表语言中提取信息、分析信息、加工信息的能力提出了较高的要求，这也是近几年高考命题的趋势之一．

这类情境化试题的设计，可结合现实生活背景，对银行存款、产品寿命和可靠性、质量检验等实际问题进行数学化的再加工，采用文字、符号、图表等灵活的形式呈现，要求学生能读懂、会分析和思考，会用数学知识和方法建立数学模型，解决实际问题．既可以对学生的数学建模、数学抽象、数据分析、逻辑推理等素养提出不同程度的要求，又可以将数学运算融入其中，引导学生感悟数学的科学价值和应用价值，突出考查学生的应用意识和创新意识．

3.3 以与其他学科的联系为背景创设试题情境

数学是一种语言，是一种科学的共同语言.随着科学技术的飞速发展，数学在其他各个领域发挥着越来越重要的作用．数学与其他学科，尤其是现代科学的联系也就为创设试题情境提供了丰富的材料和背景．这类情境化试题能体现数学对人类社会发展和进步的贡献，为学生能更好地践行社会主义核心价值观做好铺垫．

图6

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

本题抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测器轨道为背景创设了试题情境，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质．小中见大、常中见新、蕴数学于现代科学技术应用之中，可谓匠心独运．本题对学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养进行了考查.