努力构建“适合学生实际”的数学课堂教学——从课例“三角形内角和”(第1课时)谈起

刘 钰 (安徽省肥西县金牛学校 231253)

什么样的课堂教学才能收到良好的教学效果，其中涉及的因素有很多，但有一点至关重要，那就是教学的起点不只是关注知识、从知识的逻辑出发，还应该关注现实、从学生已有的经验出发，关注所面对的学生的实际情况，综合进行教学内容的设计以及教学方法的选择．

1 教学背景

为了进一步推进优质教育资源共享，深化课程改革，促进教师专业发展，合肥市初中数学培训基地受市教育局委托，面向全市偏远的农村学校开展“送培送教”活动．2018年10月，培训基地教师培训团队专家、经开区初中数学名师工作室领衔名师、合肥市初中数学骨干教师韩芬芬借班上了两节“三角形内角和”新授课、一节复习课．

“三角形内角和”这个内容在沪科版义务教育教科书中不是独立成节，而是安排在“13.2命题与证明”之中，按照《数学教师用书(八年级上册)》安排，需用5个课时完成本节内容的教学任务.其中,“三角形内角和”的定理论证、定理的4个推论以及“辅助线、三角形外角”两个概念用1个课时，定理及推论的综合运用用1个课时，合计用 2个课时完成这个内容的全部教学任务．为了上好本次示范课，韩老师提前一天来到授课学校，和学生以及他们的授课教师交流.她了解到，授课班级大部分均为留守儿童，学习基础差，性格内向；一个班二十来个学生，上起课来没精打采．于是韩老师决定，把本来两节课完成的内容分成三节课来完成，并对教学设计环节、例题及作业都进行了相应调整．

以下展示的是“三角形内角和”的第一节课堂教学的主要流程(师生互动环节中省去学生回答部分)．

2 课例呈现

·课前热身

提出问题：(1)平角的定义是什么？(2)平行线的性质定理和判断定理内容是什么？你能分别说出每个定理的题设部分以及结论部分吗？

(学生集体回答，课堂气氛活跃)

·导入新课

师：前面我们学习了三角形三边的关系，即……(学生集体回答).那么三角形的三个内角又有什么关系呢？

教学过程分析开篇的引入——门槛低、有创新.通常在上一节新课之前，我们都要简单回顾上一节课的内容．教科书在安排三角形内角和定理内容之前安排的是“命题”，这节内容涉及的概念众多：命题、命题的真假、命题的题设和结论、定义、定理、推论以及演绎推理等，不少学生感觉枯燥乏味，很难记住．韩老师另辟蹊径，提出了与上节课内容无直接联系的三个问题，而这三个问题学生都知道，所以一下吸引了学生，课堂气氛就活跃起来了；同时，由“三角形的三边关系”联想到三角形三个角的关系，这种引进既自然又渗透着提出问题的方法．三个问题承上启下，过渡自然，学生很快地在教师的引导下自觉投入到实验中．所以，教学的起点不只是关注知识、从知识的逻辑出发，还应该关注现实、从学生已有的经验出发．

师：你们有谁记得，小学是怎样得到这些关系的呢？请你们拿出准备好的三角形纸片，试着重复一遍小学时的折叠法，验证你们的结论.

(教师稍作巡视、指导后，请一位学生到讲台进行示范)

图1

师：同学们折叠得都很好(如图1)，请问你们是怎样理解三个内角的和为180°的？

师：折叠时要注意把三个角的顶点放到一起，即要使得三个角有公共的顶点，这是拼角的关键．那么是不是说将三个角的顶点移到同一点上就一定能拼成一个平角呢？(学生有点发懵)

师：请大家把三个角用剪刀剪下来，用尽可能多的方法拼图．

(教师巡视、指导，大部分学生都能至少拼出一种方案)

经提问、交流后，归纳可得到如图2-4几种方案(其中图4还可以是把∠A和∠B互换)：

图2 图3 图4

教师用多媒体把这几种方案展示在黑板上，并把图2的拼图用事先准备好的纸片照样拼接，用磁铁固定在黑板上．

教学过程分析让学生的“手”动起来：授课者利用回顾小学的折叠法，验证“三角形内角和为180°”结论来开篇.这个实验操作还是十分有必要做的，因为这个实验对于一个八年级的学生来说已经间隔了好几年了，一部分学生已忘记，同时这个实验中角的转移蕴含着用作辅助线——平行线的方法来证明该定理的解题思路.在教师的引导下，学生很快通过回忆旧知，给出了不同的拼接方法．这个活动本身就是一个需要动手的开放性情境，是一道开放题，它能提供发现定理结论的情境.可见图形拼接的探究活动搞好了，整堂课的成功基础也就奠定了——重点抓住了，难点突破了．从课堂教学效果来看，学生在活跃的课堂气氛中不知不觉中进入了新课的学习．

师：我们采取不同的方式拼图可以直观地看出，这三个角的确可以拼出一个平角，但这能不能说明“三角形内角和是180°”这个命题就是真命题呢？(稍停顿，看着面面相觑的学生)要说这个命题是真命题，这样验证显然是不够的，还需要进行证明，这也是初中数学和小学数学的不同之处．下面我们就来探讨如何去证明．

·讲授新知

板书：三角形内角和等于180°.

教师引导学生首先分析这个命题的题设和结论，然后用规范的几何语言板书,即用图形语言和符号语言表述命题：

图5

已知：△ABC.

求证：∠A+∠B+∠C=180°.

师：我们首先来研究图2.(教师把刚才如拼图2的教具用粉笔先把△ABC及移位后的∠A和∠B的轮廓描出，然后去掉纸片，添上字母，用直尺规范画图，即得到图6.)这当中我们添画了射线CE,又延长了BC，由于这两条线都是原图上没有的，是我们“在原来图形上添画的线”，这样的线叫辅助线，在平面几何中辅助线通常画成虚线．

师：由图2可知，图6中的∠1=∠A，∠2=∠B．当然这仍然是直观得出的结论，不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.(教师引导分析)在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在∠2这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题?(教师在原题图上作图，如图7)

图6 图7

学生交流讨论.

教师提示:(1)∠A和∠1是什么角?(2)怎么证明两个内错角相等?(3)在题中要证明哪两条直线平行?怎么证明它们平行?

师：我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件再写结论,这个顺序要理清.

学生口述,教师规范板书(证法1，板书过程同教科书，略).

师：这个证明我们是通过作等角来找平行线，即利用了平行线的判定定理.我们也可以利用平行线的性质定理来完成本题的证明，即通过先作平行线来完成(证法2，引导学生来完成)．

由此我们可以得出这样一个结论：要证明一个几何命题为真命题，一般步骤为(1)分清命题的条件和结论，根据题意画出图形；(2)结合图形，将命题的条件和结论写成已知和求证的形式；(3)分析思考，寻找出已知条件推出结论的途径，并写出证明过程(板书：条件、结论、画图→已知、求证→证明)．

·及时巩固

师：三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习(教科书第81、82页)中给出了另外两种证法.大家能不能分别说出两题的思路?

学生先理清思路，再补充练习第1、2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.

师：为了证明三角形的内角和为180°，我们都是通过作相等的角或作平行线来转化为一个平角来解决的.想一想,我们学过的知识中还有哪个知识点涉及180°？

师：对，我们还可以用“两直线平行，同旁内角互补”来解决这个问题．

图8

引导学生过点A作射线AD∥BC(证法3).

(学生板演后，集体订正)

教学过程分析让学生的“脑”动起来,“通过我们采取不同方式的拼图可以直观地看出，这三个角的确可以拼出一个平角，但这能不能就说明‘三角形内角和是180°’这个命题就是真命题呢？”教师的这个追问一抛出，原来“热闹”的课堂一下安静下来，学生们纷纷停下了手中的活，看着黑板上自己的几种拼图开始思考，从而引出新的问题：如何给出严格的证明．通过引导，让学生自己设计证明思路,培养了学生积极的探索精神.在证明三角形内角和定理的三种证法中,教师带领学生紧跟前面的操作方法,并说明这三种方法的思路是一致的.一方面可以让学生学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面也培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移(这是本节课的重点).在证明三角形内角和定理的(教科书)练习中,让学生先理清思路再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.再者，在证明中为了把三个分散的角加在一起，需要添加辅助线，这是本节课的一个难点，其实质都是通过作平行线(或通过作一个角等于已知角)而将分离的角集中为共顶点的角．这就是“转化”思想．

·例题剖析

例1内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说，“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？”老二很纳闷.

师：同学们，你们知道其中的道理吗？

(学生稍作思考，很快解决了问题)

例2证明“四边形的内角和是360°”是真命题．

引导学生分析命题的“题设、结论”，据此画出几何图形，再写出“已知、求证”．已知：四边形ABCD.求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.学生尝试寻找方法进行推理、证明．最后教师规范板书解题过程．

教学过程分析例题的设计具有多样性、趣味性.在定理的证明中，学生通过实验的启发，找到辅助线，完成了从实验到证明的质的飞跃．一个例题三种证法，涵盖了开篇的前两个问题的运用，学生易于接受．紧接其后的“例题剖析”环节，可以看做是三角形内角和定理的运用，当学生被定理的证明弄得头昏脑涨之际，授课者适时抛出了一个趣味十足的“内角三兄弟之争”问题，课堂气氛再次活跃起来；命题“四边形内角和是360°”的证明又再次回归到对本节课的重难点的复习巩固．

·随堂练习

图9

1.△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，求∠C的度数．

2.如图9，AD,BC相交于点O，若∠A=35°，∠B=56°，∠D=46°，则∠C的度数是多少？

3.判断正误：

①三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形( )

②一个三角形中最多只有一个钝角或直角( )

图10

·课堂小结(略)

·作业及课外拓展

1.见《同步基础训练册》.

2.如图10,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.

教学过程分析习题的推出——重基础、有梯度.为了使学生所学的新知能更好地发生迁移、巩固并形成基本技能，需要一定量的训练.课本的练习主要是巩固规范的证明方法；授课者补充的习题则是三角形内角和定理的运用，第1、2两题较为简单，学生通过口算就能完成，第3题是对前面的“内角三兄弟之争”例题的回应，如何用规范的语言描述出来有一定难度.“作业及课外拓展”环节中的第2题实际上就是证明“三角形外角和是360°”，这是为下一节课内容的展开埋下一个伏笔，有一定的前瞻性．

3 教学思考

通过上述对本节课例的剖析，我们可以看出韩老师是通过构建“适合学生实际”的课堂来完成教学任务的．

(1)根据学情，创造性地使用教材

“数学好玩”曾经是数学家陈省身对数学的赞美，但我们往往面对的是：特有的数学魅力对很多学生来说常常难以接受．要避免出现这种局面，授课者就要在激发学生学习兴趣上下功夫，要通过自己的教学智慧充分展示数学的亲和力，拨动学生的好奇心，激发学生学习数学的原动力．章建跃先生在《数学教育心理学》中提到：“教之道在于度.”这里的“度”，一是要把握教材的“度”，要创造性地使用教材，但绝不是脱离教材，通过对教材的重组使教材内容更加系统和条理，更符合学生的认知基础和接受水平.本课例中对于定理的证明教科书上只给出一种，由于学生基础薄弱，对于几何的规范证明及辅助线的运用掌握得不好，韩老师便增添了另外两种方法，以及“例题剖析”和“及时巩固”，这样很好地解决了那些对于新知接受较慢的学生的认知困难.二是要掌握学生的认知发展水平和已有的经验，以此为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教，努力把控问题的设计的梯度.试想，如果开篇就直接发问什么是命题、定义、定理，把动手实验用“我们在小学阶段就已学过”一句话带过，直接进入作辅助线进行命题的证明，那么这节课一定是上面教师讲得热热闹闹，下面学生听得索然无味．

(2)创设条件，促使学生进行数学思考

数学思考是数学教学中最有价值的行为.题型模仿、类型强化、技能操练固然在教学中需要去做，但如果这些措施离开了数学思考，也只能是无效行为．有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展．三角形内角和定理的证明方法1是通过作等角来得到平行线的，这是教科书给出的证法，利用了平行线的判断定理，证明方法2、3则是授课者创造性地利用教材，来实现“题型模仿、类型强化”.学生能很快作出例2中四边形的那条辅助线，则很好地说明前面的活动没有白费功夫，学生已有了自己的思考，体悟到了本节课的数学价值——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.当学生有了自己的思考，又何愁他们不再继续往下探究呢？这就是“学之道在于悟”的道理吧．