问题驱动，提高复习课教学效率

郭桂霞 (江苏省无锡市堰桥高级中学 214174)

高三数学复习课，教师普遍感觉课时少、任务重．如何在课堂教学中提高学生的解题能力，让学生不仅会做题而且明白为什么这样做、如何想得到这样做，知其然并知其所以然？笔者认为，在复习课上可通过设计一些能激发调动学生积极性的问题，驱动学生思维不断深入，让学生在问题中领会思维的起点，找出思维的亮点，深入思维高点，提升学生数学核心素养，从而提高复习课的教学效率．

1 设计问题串，驱动学生思维递进发展

问题串就是根据教学内容围绕核心问题设计一组问题，由浅入深，不断驱动学生思维递进发展．

案例1在“函数与方程”章节“函数零点存在性”问题中，笔者设计了以下问题串：

问题1 判断函数f(x)=x2-3x-18,x∈[1, 8],是否存在零点.(通过学生熟悉的二次函数作为思维的切入点)

学生想到的第一个方法是求方程x2- 3x- 18 = 0的根：x1=-3,x2= 6 ∈ [1, 8]．

问题2 为什么可以这样做？(发现思维起点：函数的零点就是方程的根，通过解决学生熟悉的问题，学生理解了函数零点的定义．)

若到此为止，学生的思维里只有一个意识:求方程的根即可.于是我提出了问题3．

问题3 把函数改成f(x) =x3- 3x- 18,x∈ [1, 8]呢？有没有其他方法？(制造思维冲突，求方程根的方法行不通)

学生很自然地想到画函数的图象.我让学生动手画图形，一个学生上黑板板演．点评画图过程中需要关注的量(二次函数的开口方向，与x轴交点的横坐标的精确值，即方程的根)，让学生初步感受到函数与方程的内在转化，图形帮助代数直观化，代数帮助图形精确化．若求出方程的根再画图，体现不了图形的优越性.接着提出问题4．

问题4 能不能不求方程的根，通过图象判断函数是否有零点呢？

让学生再一次观察在区间[1, 8]上的图象，f(1) < 0,f(8) > 0，f(1)f(8) < 0.回想起函数零点存在性定理，学生就能想到用函数零点存在性定理解决，并重新认识零点的特征：代数上是方程的根，图形上是函数与x轴交点的横坐标(收获思维亮点)．为了提升学生思维的严谨性和准确性，提出问题5．

问题5 函数f(x) =x2- 3x- 18,x∈ [-4, 8],是否存在零点？能否用零点存在性定理判断？

虽然f(-4)f(8)>0，但函数有两个零点，此时零点存在性定理发挥不了作用．让学生有代数方法不行去结合图形的思维，马上给出问题6．

问题6 函数f(x) = log2(x+ 2) -x,x∈ [1, 3],是否存在零点？

让学生第一时间能想到零点存在性定理，巩固定理的运用；再追问为何不用图象，让学生在头脑中有主动选择方法的意识．继续追问能不能用图象判断零点，驱动学生思考：要用图象解决，前提是图象容易画出来．驱动思考哪些函数图象能画出来，很自然想到第二种方法：转化成画两个函数g(x) = log2(x+ 2)与h(x) =x的图象，看交点情况．

通过问题串，学生对函数零点存在性问题建立起了完整的思维体系，能快速用求根的方法，或能快速画一个图象用图象的方法，或转化成画两个初等函数图象的方法，来快速解决函数零点问题．在问题解决过程中提升了学生的逻辑推理和直观想象核心素养．

2 设计有思维价值的问题，驱动学生思维深入发展

在复习课上，我们可以设计有思维价值的问题驱动学生思维深入发展．问题设计要突出重点、难点，并有一定的思考价值，帮助学生突破难点，提升数学核心素养．

(问题一出示，就有学生说用参数分离法)

师：参数分离的目的是什么？我们研究的函数有几个变量？(话音未落，生1给出自己的解法)

师：很好！这是二元函数的最值问题.这位同学把二元转化成一元，构造函数，利用导数研究函数的单调性，把不等式、函数、导数这三个知识点进行了整合．

(马上有学生提出新解法)

师：说明柯西不等式可以作为解决不等式恒成立问题的一种方法，但对式子的整体配凑要求较高.还有其他解法吗？

师：生2通过直接配凑，用柯西不等式一锤定音;生3从整体上去观察这个式子，发现分式中分子分母都有根号，利用平方进行化简，得到只有一个根式且是乘积形式，联想到基本不等式，配凑后又发现能与分母约掉，尝试成功．

师：生4换元后发现了式子的几何意义．代数式求最值时，如果去寻找代数式的几何意义，利用数形结合是非常快且有效的一个方法．

3 设计一题多解和一题多变，驱动学生思维向深度和广度发展

一题多解和一题多变可拓宽学生的解题思路，提高学生的解题应变能力，提升思维的深度和广度．

案例3已知f(x) =ax3- 3x+ 1对x∈ [-1, 1]总有f(x)≥0成立，求实数a的值．

这是高三二轮复习“函数与不等式”专题中的一道例题，教学中笔者采取了一题多解和一题多变．

解法1(参数分离) (1)当x= 0时，f(x) = 1 > 0恒成立，则a∈R．

综上所述，a= 4．

通过这种解法，学生了解到不等式恒成立问题能转化成函数最值问题，若函数中含有参数，可通过参数分离的方法转化成已知函数求最值．这是一种通性通法．

解法2(转化为函数的最小值) 当x∈ [-1, 1]时，总有f(x)≥0 ⟹f(x)min≥0．f′(x) = 3ax2- 3．

(1)当a≤0时，f(x) =ax3- 3x+ 1在[-1, 1]上递减，f(x)min=f(1) =a- 2，所以a- 2≥0 ⟹a≥2，与a≤0矛盾，所以a≤0不成立．

① 当0

两种方法本质是相同的，但学生收获可能不同.由于构造的函数一动一定，所以给出的方法也有较大的差异，但解决问题的本质相同，如果能通过比较找出两种方法的优点与缺点，就能让学生体会整体构造与局部构造函数的优劣性，让学生真正体会应用函数的观点分析解决问题．这培养了“四能”，提升了学生的逻辑推理核心素养．

为了让学生对不等式恒成立问题理解得更深刻，笔者对例题进行了以下一题多变：

变式1 已知f(x) =ax3+ 1,g(x) = 3x，若对于任意x∈ [-1, 1]，总有f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

变式2 已知f(x) = 8x2+ 16x-k,g(x) = 2x3+ 5x2+ 4x，若存在x∈ [-3, 3]，使得f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围．

变式3 已知f(x) = 8x2+ 16x-k,g(x) = 2x3+ 5x2+ 4x，若对任意x1,x2∈ [-3, 3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围．

变式1的目的是把f(x)≤g(x)转化成f(x) -g(x)≤0的形式，这样就可以用分离参数法转化为函数最值求解(解法略)．

变式2不是简单的恒成立问题，而是要对不等式恒成立与存在性的本质理解准确(解法略)．

变式3要对不等式恒成立的本质有深刻理解，再将问题正确转化．对任意x1,x2∈[-3, 3]，都有f(x1)≤g(x2) ⟺f(x)max≤g(x)min，x∈ [-3, 3](解法略)．

通过这道恒成立问题的一题多解和一题多变，学生对不等式恒成立问题的本质有了深刻的理解，也熟悉了运用等价转化思想和函数思想解决问题.这样不仅能使学生在知识上查缺补漏，加深对知识本身的认识和理解，提升对知识理解的层次，而且能让学生在数学思想方法上能不断内化、提升，进而起到提升学生逻辑推理素养的作用．

数学是一种思维活动，数学教育是思维的教育，而问题是数学的心脏，是驱动学生思维发展的动力．在复习教学中，设计有思维价值的问题能让学生充分思考，寻求思路的合理性，主动优化解题思路，让思维的增长有土壤.教师搭好脚手架，驱动学生从思维的起点出发，攻克思维的难点，发现思维的闪光点，驱动学生思维不断走向深入，提升学生数学核心素养，提高复习课的教学效率．