数学核心技能教学的选择标准与教学案例——以“不等式恒成立问题求参数取值范围”技能为例*

刘次律 (浙江省余姚市梦麟中学 315400)

数学技能是以数学知识的学习为前提，在数学知识学习和应用的过程中，通过实际操作获得动作经验而逐渐形成的，可以将其视为深刻掌握数学知识的一个标志.数学技能与数学知识共同构成数学能力的基本要素，是形成数学能力的前提．数学技能主要是智慧技能，它不等同于数学能力．我国教育界比较认同的数学技能观是：数学技能是指通过练习而形成的、顺利完成数学活动的一种动作方式，往往表现为完成数学任务所需要的动作协调和自动化[1]．而数学核心技能是指：在数学学习中体现出的一种心智技能，是本章或本模块知识内容学习中经常用到的、处于中心地位的、对数学核心知识学习起重要作用的，通过模仿、练习、理解而形成的合乎法则的心智活动方式，它主要是程序性知识．这里以“不等式恒成立问题求参数取值范围”技能为例，谈谈数学核心技能教学的选择标准、特征以及相关教学案例．

1 数学核心技能的选择标准

数学核心技能的选择标准主要有以下几条，具备其中一项或多项即为本研究所界定的核心技能．

(1)数学核心技能关系到核心概念的理解和直接应用

有一些基本技能直接关系到数学核心概念的理解和应用，如：求函数的定义域、求函数的值域、求函数的解析式，这些技能与理解函数这个核心概念有着直接关联，其本身就是对函数概念学习的直接深入，因此，这些就属于核心技能．在高中数学学习中，与核心概念的理解及应用密切相关的技能还有很多，如函数单调性的证明与判断技能、函数奇偶性的判断与证明技能、空间角的处理技能等．

(2)数学核心技能是直接应用重要程序性知识且使用频率高的基本技能

在数学学习中，有些基本技能的使用频率很高，是数学核心知识学习的迁移内容，是重要的程序性知识．例如，函数图象的变换技能、直线与圆锥曲线位置关系的处理技能、直线与圆的位置关系处理技能、数列求和技能、不等式恒成立中参数范围的确定技能等，使用频率都很高，且是程序性知识的直接应用．

(3)数学核心技能是直接应用重要公理、定理、法则的基本技能

在数学学习中，直接应用定理、公理、法则的基本技能很常见．例如，三角函数中角的配凑重组及三角恒等变换技能、求可导函数的单调区间及最大最小值技能、求数列的通项公式技能、向量的运算技能(加法、减法、数量积)、解三角形基本技能等，这些都是对定理、公理等主体性知识的直接应用或是对核心技能的直接巩固．

2 数学核心技能的特征

数学核心技能由于经过模仿、练习、理解、内化，因而从思维水平、行为指标上应具有以下几方面的特征．

(1)准确性强

核心技能对学习理解的层次要求较高，是已经内化了的知识.因此，其活动过程中的调节与控制性较好，准确性强．

(2)速度快

由于数学核心技能是熟练练习过的程序性知识，因此对问题的熟练度高，作出的判断迅速，提取知识的速度快，能简化推理过程，甚至直接获得结果．

(3)协调性好

在数学学习中，随着对主体性知识理解的深入，学习中涉及的心智动作相互配合良好，动作娴熟适当，能自如地运用数学符号语言、图形语言来解决问题，协调性好．

(4)自动化程度高

自动化程度高是核心技能的一个重要特征.由于理解深入、程序性强，信息提取速度快，在头脑中形成了“程序块”“动作链”和“问题解决模型”，因此其自动化程度高．

根据数学技能形成的过程：模块定向、模式操作、模式内化三个阶段，高中数学核心技能研究主要从三个方面进行，即该项核心技能学习需要的知识储备、该项技能的基本内容、典型例题层次示范.

3 核心技能教学研究案例

在此，以含参不等式恒成立问题为例，来看数学核心技能教学研究的范例． 含参不等式恒成立问题在高中数学学习中随处可见，综合性往往比较强，考查的知识比较系统灵活，但依然具有较强的规律可寻．

3.1 学习该项核心技能所需的知识储备

(1)掌握一元二次方程根的分布知识

一元二次方程根的分布是“三个二次”问题中较为复杂的一类问题，常见错误有对问题考虑不周、逻辑不清、集合运算出错等．

根的分布问题的主要类型有：① 方程有两个相异实根(Δ>0)；② 两根同正(Δ≥0，两根之和为正，两根之积为正)；③ 两根同负(Δ≥0，两根之和为负，两根之积为正)；④ 两根异号(Δ>0，两根之积为负)；⑤ 两根分布在某个具体区间(需要考虑Δ、对称轴范围及区间端点对应函数值的正负)．

(2)求函数的最值问题

很多恒成立问题最终要转化为求函数最值问题．求函数最值的方法与求函数值域的方法类似(见求函数值域的基本技能)，在此不再赘述．

3.2 该项核心技能的基本内容

(1)参数分离法

参数分离法是求参数范围的一种主要方法：将所要求的参数分离到不等式的一边，从而将问题转化为求另一边的一个函数的最大、最小值问题，即若λ≤f(x)恒成立，则λ≤f(x)min恒成立；若λ≥f(x)恒成立，则λ≥f(x)max恒成立．在分离参数时，当参数前面变量为正时特别适用，否则不等号将会反向，从而带来不确定性．

例如，已知二次函数f(x)=ax2+x+ 1对x∈ [0, 2]恒有f(x)>0，求实数a的取值范围．

(2)函数图象法

(3)根的分布法

(4)转化为求函数的最大、最小值法

(5)处理一元二次不等式恒成立问题的常用方法

①ax2+bx+c> 0(a≠ 0)恒成立的充要条件是a> 0且b2- 4ac< 0；

②ax2+bx+c< 0(a≠ 0)恒成立的充要条件是a< 0且b2- 4ac< 0；

③ 对于ax2+bx+c> 0在区间(m,n)上恒成立，常有两种考虑方法：一是f(x) =ax2+bx+c在(m,n)上图象恒在x轴上方(根的分布)，二是f(x)在(m,n)上的最小值大于0．

(6)关于“存在”与“任意”恒成立问题的常用结论

①恒成立问题：a>f(x)恒成立等价于a>f(x)max；

②能成立问题：a>f(x)能成立等价于a>f(x)min；

③恰成立问题：a>f(x)在M上恰成立等价于a>f(x)的解集为M；

④设函数f(x),g(x)对任意的x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≥g(x2) ⟺f(x)min≥g(x)min；

⑤设函数f(x),g(x)对任意的x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≤g(x2) ⟺f(x)max≤g(x)max；

⑥设函数f(x),g(x)，存在x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≥g(x2) ⟺f(x)max≥g(x)min；

⑦设函数f(x),g(x)，存在x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≤g(x2) ⟺f(x)min≤g(x)max；

⑧设函数f(x),g(x)，任意x1∈ [a,b]，任意x2∈ [c,d]，都有f(x1)≤g(x2) ⟺f(x)max≤g(x)min；

⑨设函数f(x),g(x)，若对任意x1∈ [a,b]，都存在x0∈ [c,d]，使得g(x0) =f(x1)成立，f(x)的值域A，g(x)的值域为B，则A⊆B．

3.3 典例示范

例1已知函数f(x) =x2+ax+ 3．

(1)若x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；

(2)当x∈ [-2, 2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.

分析 (1)可以用Δ≤0或图象法求解；(2)用区间上的最小值或根的分布求解．

解(1)方法1(根的分布法)x2+ax+ 3≥a恒成立，即x2+ax+ 3 -a≥0恒成立，故Δ=a2- 4(3 -a)≤0，即a2+ 4a- 12≤0 ⟺ -6≤a≤2．

方法2(图象法)x2+ax+ 3≥a⟺a· (x- 1)≥-x2- 3，画出y=a(x- 1)，y= -x2- 3的图象，使过定点(1, 0)、斜率为a的直线y=a(x- 1)始终在抛物线y=-x2- 3的上方，由图象可知斜率-6≤a≤2．

(2)x∈ [-2, 2]时，g(x) =x2+ax+ 3 -a，以对称轴分为三种情况讨论:

综上所述，实数a的取值范围为-7≤a≤2．

以上是高中数学核心技能教学研究的一个案例.中学数学教学中要让数学核心素养落地生根、开花结果，通过核心技能的教学是一个看得见、摸得着的好渠道．