初中数学单元教学的实践与思考——以苏科版“一元一次不等式”章首课为例

浦叙德 (江苏省无锡市新城中学 214111)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自区内普通公办学校的初一班级，学生数学基础总体较好，有良好的数学学习习惯，初步具备一定的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养．

1.2 教材分析

所用教材为教育部2012年审定的《义务教育教科书·数学(七年级下册)》．初中代数的内容主要是数、式、方程、不等式、函数五大板块，其中方程与不等式既可以看成是解决生活问题的基本模型，也可以看成是数、式的运用．第11章“一元一次不等式”既是不等式的开篇之章，又是在第4章“一元一次方程”和第10章“二元一次方程组”学习基础上的延续，本章内容的学习可以看成是方程板块内容的继承与创新，类比与对比是学习中最重要的方法之一．

在具体教学中，一要理清本章“不等式定义—不等式的解(集)—不等式的性质—一元一次不等式定义—解一元一次不等式—用一元一次不等式解决问题—一元一次不等式组定义—……”的教学主线，二要时时与方程知识对比和类比，通过异同比较，建立方程与不等式的整体认识和系统观念，进而发展学生的数学学科核心素养．

教学目标 (1)结合具体问题情境，了解不等式、不等式的解集、一元一次不等式等相关概念；(2)经历由具体问题抽象出不等式的过程，与方程进行类比，体会研究这类知识的思路与方法；(3)通过问题解决感受不等式与现实生活的密切联系，感知不等式也是解决生活问题的基本模型，进而初步体会一元一次不等式模型的思想．

教学重点 不等式、不等式解集、一元一次不等式的定义及列出不等式．

教学难点 与一元一次方程进行类比，进而发现整章学习主线、知识结构及研究思路．

2 教学过程

2.1 情境导入

问题1一只纸箱质量为1 kg，当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25 kg)后，箱子和苹果的总质量恰好是10 kg．请问纸箱里装了几个苹果？

生1：(10 - 1) ÷ 0.25 = 36．

生2：根据等量关系：纸箱重量 + 苹果重量 = 总质量，设苹果个数为x，可得1 + 0.25x= 10，解之得x= 36．答：纸箱里装了36个苹果．

问题2一只纸箱质量为1 kg，当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25 kg)后，箱子和苹果的总质量不超过10 kg．

提问1 你认为纸箱里有几个苹果？

提问2 你能估计这只纸箱内最多能装多少个苹果吗？

生3：根据不等量关系：纸箱重量 + 苹果重量≤总质量，设苹果个数为x，可得1 + 0.25x≤10．

提问3 这个列出来的式子是方程吗？

生4：不是，是不等式．

归纳 方程是刻画生活中等量关系的模型，不等式是刻画生活中不等量关系的模型．

2.2 探究新知

问题1一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h，已知公路对轿车的限速是40 km/h，那么这个关系可以表示为______________.

图1

问题2根据科学家测定，太阳表面的温度不低于6 000℃，设太阳表面温度为t℃，怎样表示t和6 000之间的关系？

问题3天平左盘放3个乒乓球，右盘放5 g砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为xg，怎样表示x与5之间的关系？

图2

问题4小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高．小明的身体质量为pkg，小聪的身体质量为qkg，书包的质量为2 kg，怎样表示p,q之间的关系？

问题5小梅的年龄不是3岁，表示小梅年龄的字母x的值与3之间有什么关系？

归纳 在日常生活中，同类量(如长度与长度、质量与质量、速度与速度)之间可以进行比较，它们常常存在相等关系和不等关系．显然，两个量相等是特殊情况，而两个量不相等是一般情况．

不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．特别地，像a≤40,t≥6 000, 3x> 5这样的不等式．

一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式．

2.3 运用新知

·辨一辨

判断下列各式中哪些是不等式？

(1)a2+ 1 > 0；(2)a+b= 0；(3)13 > 9；(4)3x- 1≤x；(5)4 - 2x；(6)x-y≠ 1．

·答一答

(1)根据下列数量关系列出不等式：

1)x的2倍与1的和大于x；2)1减去y不大于2；3)y的20%不小于1与y的和；4)a的2倍比a的平方的相反数小．

(2)用不等式表示下列关系：

1)a是正数；2)y的绝对值与-8的和为负数；3)a与b的差的平方是非负数；4)某班学生家到学校的路程s最远是4 km；5)车提速后，时速v最高可达140 km/h．

2.4 深化探究

计算并交流讨论：表格里的x的值能使不等式0.25x+ 1≤10成立吗？

苹果数1020253035总质量/kg

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成了不等式解的集合，简称不等式的解集．

2.5 拓展提升

(1)本课知识(微观)

不等式定义、不等式的解、不等式的解集、一元一次不等式定义.

(2)本章结构(中观)

(3)本章框架(宏观)

(4)代数学段结构(综合)

(1)本节课我们研究了哪些知识？(不等式符号、不等式定义、不等式的解集、一元一次不等式定义、列不等式)

(2)在研究过程中用到了哪些数学思想方法？(特殊与一般、类比与对比、数学抽象、数学建模、无限与有限)

(3)了解了初中代数的板块结构(或方程与不等式结构)后给你的学习带来什么启示？

3 回顾与反思

3.1 对单元教学的基本认识

数学单元教学是指基于一定的目标与主题，以现行教材为基础，从数学内容的整体性、学生学习的整体性和学生发展的整体性出发，对内在关联性强、共同特征多的数学内容进行整合和重组，以单元为单位进行整体策划和整体设计，以实现整体大于局部之和的教学效果．数学单元教学的实质是从知识的整体和结构入手，围绕大问题和大概念设计、组织、开展教学[1]．常见的单元有知识单元、主题单元和活动单元等．初中数学在新授课教学时一般可以选择知识单元，在复习课、应用课教学时可以考虑主题单元和活动单元．

从上可以看出，单元教学与当前比较热门的深度学习、高阶思维等一样，都是伴随着数学学科核心素养而成长，因为数学学科核心素养具有阶段性、连续性、整合性等特点[2]，仅靠课时教学很难达成这样的整体性课程目标.单元教学的理念与实践，与课时教学相辅相成，相得益彰，有利于数学学科核心素养的发展．

章建跃博士指出，在中观层面上应引导学生以数学概念的发生发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论，等等[3].从中可以看出，单元教学在关注本课时知识的同时，应该把主要精力和重心放在本章的知识结构、研究方法和数学思想上．

3.2 对单元教学的实践思考

初中数学以知识单元为标准进行新授课的单元教学，章首课比较适合．因为初中数学处于小学与高中之间，初中所学数学知识来自于小学生的数学现实；初中所学知识又前后关联，组成了数、式、方程、函数、线段、角、三角形、四边形等许多同类单元；初中所学数学知识又会成为高中学生的数学现实．这样，就把小学、初中、高中数学知识“布点”“连线”“成面”的特点充分体现出来，可以充分弥补课时教学整体感不强、知识分解过度、学习碎片化、教学效益低下等不足，有利于学生形成一个完整的整体知识结构，提高学生对数学的整体理解．

有的初中数学教师认为，单元教学就是把整章的内容先在本章第一课时中蜻蜓点水般呈现，这是对单元教学认识的最大误区．单元教学的目标定位在一个单元，着眼于整体，而课时教学的目标定位在一个课时，着眼于局部．章首课单元教学是“总”，课时教学是“分”，章末课复习教学是“总”，三者共同组成“总—分—总”的结构；这样先见森林，再见树木，最后又见森林，最终形成既见森林又见树木的良好局面．单元教学的重点不在知识上，而在于为整个单元提供知识教学主线和学习基本方法．

考虑到初中学生数学知识现实有限，不是每一单元的章首课都可以进行单元教学，但我们依然可以在整体性教学方面作些努力，那就是进行单元教学设计，先确定单元教学目标，再制定每课时的目标，在单元设计的基础上分课时实施.这样在教学过程中达成课时目标的同时，还可以为单元目标服务，最终达成学段目标和数学课程目标．

3.3 对本课教学的教后反思

本课的章首课单元教学把目标定位在第一课时知识及相关联知识整合、本章研究思路方法上是基于如下两点：一是要呈现本章的知识教学主线，必须要用到不等式、不等式的解集、一元一次不等式等概念，由于学生已有方程、方程的解、一元一次方程等概念作为数学现实奠基，因此把三个概念整合到本课时中一起教学；二是要呈现本章知识研究思路与方法，同样学生已有研究方程、一元一次方程、二元一次方程组的基本活动经验，通过数学思想方法中的类比与对比，完全可以领会研究不等式、一元一次不等式的思路与方法．

在具体教学过程中，学生对不等式、不等式的解(集)、一元一次不等式三个概念的产生和理解没有太大的难度；但在产生研究思路与方法上，对学生的思维是一个不小的考验．毕竟在初中前段内容学习中，数只学习了有理数及运算，式只学习了整式及运算，方程也只学习了一元一次方程和二元一次方程组，不等式只是开篇，同类单元的教学基本还没有真正展开.因此，如何利用一元一次方程、二元一次方程组的研究思路和方法，引导学生展开联想，与不等式、一元一次不等式、一元一次不等式组产生关联，是本课教学的难点所在.基于此，本课教学的重心就放在思路方法的产生上．

单元教学对教师和学生都提出了全新的挑战．就如本课教学，如果采用课时教学，学生只需学会从生活问题中抽象出不等式、了解不等式的定义和符号表达、会把数学问题和生活问题中的不相等数量关系用不等式表示就可以了；但采用单元教学后，需要在课时教学基础上再同时了解不等式的解集、一元一次不等式等几个核心概念，不仅是知识数量的增加，还需要理解知识发展的方向和学习方法.如果采用课时教学，教师只需对照学生的课时目标通过三个基本环节顺利完成本课教学；但采用单元教学后，教师需要对本章内容进行取舍整合，若所选知识太多，则难以一课时完成和达标，若所选知识太少，又难以形成知识主线和学习方法，这对教师理解数学、理解学生、理解教学都是巨大的考验．当然，对单元教学进行长期的实践与思考，必定会促进教师专业水平得到快速的提升，进而让学生的数学学科核心素养得到快速的发展．