Dirichlet 空间上一类乘法算子的相似性

秦春桃, 陈 泳

(1.西南交通大学希望学院 基础教学部, 四川 成都 610400； 2.杭州师范大学 数学系, 浙江 杭州 311121)

0 引 言

令D是复平面的开单位圆盘，其边界记为T，dA表示D上的正规化面积测度.Bergman空间是由全体D上的解析函数u组成的函数空间，满足

‖u‖D=|u(0)|+‖u′‖.

可以知道，D是一个再生核函数空间，其再生核为：

令aj∈D(j=1,2,…,n)且γ∈T，称形如

的有理函数为n阶有限Blaschke积.记M为Dirichlet上的乘子代数，则易见以有限Blaschke积φ为符号的乘法算子Mφ∈M.

1 主要结果及证明

则fi=τif,其中i=1,…,n.

在此基础上,我们可以在Dirichlet空间上建立类似的结果，即给出Dirichlet空间中函数的表示定理.首先需要下面的引理.

引理2 若f∈D,则τif∈D,其中i=1,…,n.

Ar={z∈:r<|z|<1}.

容易验证存在一个r′(r

φ(βj(w))=w，j=1,…,n.

(1)

(ⅰ) 每个函数都满足(1)式;

(ⅱ)βi(z)≠βj(z),z∈O(w,εw),i≠j;

根据引理1,每个多项式p可以表示为：

上式可改写为：

根据Cramer法则可得,对任意的k(1≤k≤n)有：

(2)

其中，Vk(p)(w)表示n×n矩阵(βj(w)i-1)中第k列替换为：

(p(β1(w)),…,p(βn(w))T

(3)

O(w1,ε1),…,O(wN,εN)

其中，

而第4个不等式由下式得到：

(4)

易知D中的每个函数都满足(4)式.

另一方面,存在一个常数C3满足

将这个不等式与上述讨论相结合可得：

(5)

此处K=C3(C1nN+C2nNM),C=C3C2nNM,两者都只与φ有关.

由上面结论即可得如下结果，此将引理1推广到了Dirichlet空间情形.

定理1 若φ是一个n阶有限Blaschke积,则存在D到D的有界算子τi使得

这种表示是唯一的,即如果在D中存在f1,…,fn满足

(6)

则有fi=τif,i=1,…,n.

下面给出Dirichlet空间上有限Blaschke积符号乘法算子的相似性结果.

定理2 设φ是一个n阶有限Blaschke积,则存在D到D⊗n的有界可逆算子S满足SMφ=(Mz⊗In)S.进而对φ∈M,在Dirichlet空间上Mφ与Mzn相似当且仅当φ为n阶有限Blaschke积.

证明设τ1,…,τn是如定理1所定义的算子,且对每一个f∈D,令

Sf=(τ1f,…,τnf).

根据定理1,容易验证S是可逆的.而且有：

SMφ=(Mz⊗In)S.

实际上,对每个f∈D都有：

因此,通过唯一性有：

SMφf=(zτ1f,…,zτnf)=(Mz⊗In)Sf,

即SMφ=(Mz⊗In)S.

如果Mφ与Mzn相似,那么容易得到：

σe(Mφ)=σe(Mzn)=T.

由文献[3]引理2.2得：

由此可知,|φ|=1在T上几乎处处成立,即φ是D中的一个内函数.由于D中的内函数只有有限Blaschke积,我们得到φ是一个有限Blaschke积.

余下的部分容易证得.证毕.