一类二阶不连续系统的全局动力学分析

王仕军， 计林宇， 曹璐伟， 陆莹冉， 李立平

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州 313000)

考虑二阶不连续动力系统

x″+Ax′+Bx=Csgn(x),

(1)

(2)

系统(1)可看作附加了不连续外力的阻尼弹簧振子运动模型,该模型广泛存在于机械工程领域.近年来,对系统(1)的动力学研究已取得了丰富的成果[1-6].文献[3]研究了系统(1)在不同参数条件下周期解的存在性和一般解的振动性.本文采用与文献[3]相同的参数分类,研究模型(1)的全局动力学行为,如伪平衡点类型及全局稳定性等.结果表明，文献[3]关于系统(1)周期解的存在性论断是不正确的.

令x′=y，则(1)式等价于

(3)

一般地,称不连续系统(3)为一个平面Filippov系统.该系统由左右两个子系统构成,子系统间的分界线x=0被称为不连续边界,边界上的奇异点被称为伪平衡点.显然,分界线x=0上除原点外其它点都是系统解的穿越点,因此系统(3)的伪平衡点只能存在于原点.又因为两个子系统的向量场在原点处相切于边界,由文献[7]、[8]可知原点一般为伪鞍点、伪焦点和伪中心3种类型之一.

1 B=0，AC≠0时的全局动力学分析

当B=0且AC≠0时，系统(3)在相平面内等价于

(4)

(5)

计算可得,左右子系统(4)、(5)的通解分别为：

(6)

(7)

其中，(x0,y0)表示各自解曲线的初始点.另外，方程(4)、(5)分别有常数解y=-C/A和y=C/A.

下面根据A、C的符号分类对系统(3)的全局动力学进行分析.

情形1A>0,C>0.

简单分析可知，左子系统(4)仅存在过原点的轨线Γl与边界x=0相切,又由(4)可得：

故Γl整体包含于左半平面内.另一方面,由B=0的(3)式知，y>-C/A时y′<0,y<-C/A时y′>0,故方程(4)以点(0,y0)(其中y0≤0)为初值的解随t的增加都被常数解y=-C/A最终吸引.类似分析可知,右子系统(5)仅存在过原点且整体包含于右半平面内的轨线Γr与边界x=0相切,而常数解y=C/A在右半平面吸引(5)中以(0,y0)(其中y0≥0)为初值的解.因此在整个相平面内,原点(0,0)为系统(4)、(5)全局不稳定的伪鞍点,如图1(a)所示.

情形2A<0,C>0.

注意到B=0时,经坐标变换(t,x,y)→(-t,x,-y),方程(3)满足A<0、C>0的左右子系统与满足A>0、C>0的左右子系统分别等价，且保持边界不变.因此,系统(4)、(5)在情形2下的全局动力学行为与情形1类似,只需将后者的相图绕x轴翻转并改变时间方向即获得前者的全局轨线结构图,如图1(b)所示.

情形3A>0,C<0.

讨论情形3下系统的全局动力学行为前，先给出如下引理：

引理1 若常数s0>0，则函数

(8)

在区间(-1,0)上存在唯一的零点s*,且满足

max{-s0,-1}

(9)

证明因为f(-1+)=-,f(0-)=s0-ln(1+s0)>0,而s∈(-1,0)时根据零点定理,存在唯一s*∈(-1,0)，使得f(s*)=0.进一步,当s0≥1时不等式-1

且f在区间(-1,0)上严格单调递增,从而-s0

引理1证毕.

定理1 若A>0,C<0,则原点(0,0)为系统(4)、(5)全局渐近稳定的伪焦点.

证明首先考虑右子系统(5), 有如下结论成立：

(ⅰ) 由向量场分析可知,系统(5)除常数解y=C/A外的相空间轨线将随着t的增加单调接近该常数解.

(ⅲ) 从y轴正半轴上任意点(0,y0)出发的轨线将再次与y轴负半轴相交于点(0,y1),其中max{C/A,-y0}

(10)

在(10)式中，令

则根据引理1可得结论(ⅲ)成立.

其次考虑左子系统(4).由于系统(4)与系统(5)的向量场关于原点对称且保持相同的运动方向,因此上述结论(ⅰ)至(ⅲ)同样适用(4)(只需将(5)的相轨图绕原点旋转180度).特别地,系统(4)从y轴负半轴上任意点(0,y1)出发的轨线将再次与y轴正半轴相交于点(0,y2),其中0

综上可知,系统(4)、(5)的任意轨线或直接进入，或运动一段时间后进入区域：

Ω={(x,y)|x∈R,C/A

换言之,为讨论原点的稳定性,只需研究Ω中的广义Poincare映射P即可.不失一般性,令0

P(y0)=Pl∘Pr(y0)=y2.

注意到y2<-y1

定理1证毕.

情形4A<0,C<0.

当B=0时,经坐标变换(t,x,y)→(-t,x,-y),方程(3)满足A<0、C<0的左右子系统与满足A>0、C<0的左右子系统分别等价,并且保持边界不变.由此可得如下定理：

定理2 若A<0,C<0,则原点(0,0)为系统(4)、(5)全局不稳定的伪焦点.

情形4下系统(4)、(5)的全局相图如图2(b)所示.

注文献[3]在其定理2.1中指出:当情形3和情形4的条件成立时,系统(4)、(5)在原点附近分别存在唯一稳定和不稳定的极限环.然而由本文定理1和定理2的结论可知,系统(4)、(5)的原点实际分别是全局稳定和不稳定的伪焦点,因此该断言是不正确的.

2 A=0,BC≠0时的全局动力学分析

当A=0时,(3)式左右两个子系统分别为：

(11)

(12)

在相平面内求解相应过初始点(x0,y0)的解,得：

(13)

(14)

系统(11)、(12)的正常平衡点分别为(-C/B,0)和(C/B,0),伪平衡点为原点.另外,方程组(11)和(12)的系数矩阵对应的特征方程相同,即

(15)

下面将根据B、C的符号分类对系统(11)、(12)的全局动力学进行分析.

情形1B<0,C>0.

情形2B<0,C<0.

定理3 若B<0,C<0,则系统(11)、(12)存在一条异宿轨L,且在L围成的区域内部原点(0,0)为稳定的伪中心.

证明类似上面情形1的讨论,此时平衡点(-C/B,0)和(C/B,0)分别为左右子系统的唯一实鞍点,它们的单侧稳定和不稳定流形共同构成异宿环：

又据(13)和(14),左右子系统过L内的点(0,y0)的解

和

在相空间中形成一条封闭曲线.这样由(0,y0)的任意性,(0,0)为L内稳定的伪中心,如图3(b)所示.

定理3证毕.

情形3B>0,C>0.

另一方面,当x0∈(-,-2C/B)时,由解对初值的连续依赖性及关于y轴的对称性,左右子系统分别过(x0,0)和(-x0,0)的轨线形成了包围所有椭圆簇的闭曲线.情形3下系统(11)、(12)的全局相图如图4(a)所示.

情形4B>0,C<0.

3 结 论

全局稳定性是不连续系统重要的动力学性质.本文针对一类二阶不连续系统的各种参数分类，研究其相应平面等价系统伪平衡点的类型及全局稳定性，获得的结果修正并改进了文献[3]的部分工作，并能为该系统在工程领域中的应用提供了稳定性方面的支持.