中韩小学数学教材中分数除法的比较研究

杨慧娟，郭蓉蓉，孟 梦，王晶莹

中韩小学数学教材中分数除法的比较研究

杨慧娟1，郭蓉蓉2，孟 梦3，王晶莹1

（1．青岛大学 师范学院，山东 青岛 266000；2．青岛市第二实验小学，山东 青岛 266000；3．中国教育科学研究院，北京 100088）

分数除法是小学数学的重要内容．对比中韩两国的课程标准，发现两国都注重算理：韩国要求掌握带分数的计算，中国则注重含分数除法的混合运算与应用．从宏观与微观比较两国的数学教材，在结构编排方面，两国都注重分数除法的学习基础与循序渐进，中国更注重内容的纵向联系与应用，韩国突显螺旋上升．针对具体的教学内容，两国都注重设置情境引入课题；注重以几何直观帮助学生理解分数除法算理；中国更为抽象概括，韩国更看重算法的多样化和发挥教材的“学材”功能．

小学数学；教材；分数除法

1 问题提出

教材（教科书）是课程的重要载体，也是课程实施过程中教师教学和学生学习的重要资源与依据，“以教材为依据”已经成为“教、学、研”的一个重要特征．随着时代的发展，教材的功能也在发生变化，如数学教材正由静态的文本悄悄地具有了动态属性，它影响着教什么和如何教，学什么和如何学，还兼有隐性地承载与传播社会文化价值的功能．国家教材局的成立，进一步表明教材的编撰对于文化传播、落实课程标准、明确教学内容、提升学习品质等具有至关重要的作用．

小学数学中很大一部分为“数及其运算”，而其中分数的出现不仅是“数”发展的第一次扩展，也是小学生学习“数”过程的一个飞跃．“研究表明，分数概念的理解是学生数学学习的重点与难点”[1-4]，在分数四则运算的算理和算法上，加、减、乘相对容易理解，分数除法跟整数除法有相同之处，又不尽相同，所以在概念和运算的学习过程中，无法将已有的经验直接类比，因而分数除法又是分数学习中的一个门槛，在理解分数概念的基础上，进一步理解分数除法的算理和培养相应的运算能力是解决有关分数问题（如含分数的方程）以及理解分式计算的重要基础．

分数除法是小学数学中教师最难教、学生最难学的内容之一，难就难在学生对“某数除以一个分数等于某数乘该分数的倒数”的算理不容易理解[5]．国外的相关研究也表明，不管对老师还是对学生而言，分数除法都是较为复杂的内容[6]．虽然仅就算法程序而言，它是不难的，但这一主题在概念上是丰富和困难的，因为它的含义需要通过它与其它数学知识、各种表示形式或现实世界的联系来解释[7]．在教材的编排方面，张平等比较了大陆（苏教版）和台湾（康轩版）小学数学教材中分数除法部分，发现两者在编排的整体结构和理念上都有差异，并提出“在教材编写以及教学实践中需关注学生概念的理解，而非聚焦于规则的记忆和答案的获得”[8]．Yeping Li等从宏观和微观方面关注并比较了中、日、美3个国家教材中的分数除法概念引入、内容组织和例题习题等的呈现方式，研究发现与美国不同，中国和日本的教材在分数除法的概念化和组织结构上相似；并进一步指出，教育差异会体现在数学教材中，而这种差异也为进一步探讨跨文化教材对教与学的影响提供了基础[9]．

新一轮的数学课程改革中，理解算理是一项重要目标，理解了算理才能理解算法的真正意义．对于教师不容易教，学生不容易理解的算理内容教学，应该成为教学研究的重点．尤其对于分数除法，“对这一内容（分数除法）的关注，应该会给我们提供一个有趣的机会，以便了解在不同的教科书中组织教学内容时可能采取的方法”[9]．

韩国作为中国的友好邻邦，同属亚洲文化圈，但其社会文化、环境以及教育的很多理念又与中国不同，孔凡哲的研究得到韩国小学数学教科书编写通常采用的基本体例是，由“在实际生活中认识”“活动”“约定”“解题的方法”“熟记”“趣味游戏”“问题解决”“生活应用”等模块多次反复拼排而成[10]．蔡庆有等人的对比研究表明在四年级“数与代数”领域，背景题占比中国显著高于日韩，习题行为要求中国显著高于韩国，即韩国的模仿题占比更高[11]．这些研究从不同侧面反应了韩国小学数学教材的一些特色与内容．而对于小学数学中分数除法这一“难教难学”的内容，研究发现两国的课程标准有很大差异，因而有必要进一步对两国教材中分数除法的内容、组织编排、呈现形式等进行比较．

2 研究方法与工具选取

研究采用文本分析法，选取了中韩两国的小学数学教材进行内容分析比较．中国教材选取由人民教育出版社2014年3月出版的小学数学六年级上册（简称“人教版”）；韩国教材选取由韩国科学创意财团编撰、韩国国立国语院语言规范编审、2015年8月出版的数学5-2，2016年3月出版的数学6-1（简称“科创版”），这两套教材是两国较新出版并使用范围较广，具有一定的权威性与代表性．

首先比较两国数学课程标准中对分数除法内容的要求，在此基础上从宏观和微观层面对两国教科书进行了比较．宏观层面，主要涉及内容的年级分布与整体结构特征．

“一般来说，教材的知识编排方式、内容呈现形式、习题数量与分布、插图风格、课堂活动设计等都是体现教材特色的重要方面”[12]，教材内容的编排与呈现方式直接影响学生对内容的认知，所以微观层面，研究剖析教材，对教材中分数除法内容的编排方式和内容呈现形式进行了比较研究．通过比较并非分辨孰优孰劣，而是引发思考，批判和吸收国外的数学课程经验，以期能为教材编写带来有益的启示，进一步加强中国的教材建设等．

3 研究结果与讨论

3.1 中韩数学课程标准中分数除法内容的比较与讨论

《义务教育数学课程标准（2011）》（简称《中课标》）的内容标准没有具体分年级表述，第二学段“数与代数”中，在“数的运算”部分对分数的四则运算给出要求：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）．能解决小数、分数和百分数的简单实际问题[13]．

通过比较发现，在课程目标的要求上，《韩课标》对分数除法教学目标的描述更为详细清晰，并明确了应该理解算理．《中课标》虽然没有明确指出理解算理，但在数学课程改革中，帮助学生理解算理已是计算教学的重点．

从目标的描述上看，《中课标》两次提到“简单”，一是进行简单的运算；二是进行简单的应用，《韩课标》的描述则着重于“理解”．在具体“分数”的要求上，《中课标》明确要求“不含带分数”，韩国没有这一要求，所以从目标上看，对分数类型的要求，《韩课标》难度显然高于《中课标》；韩国没有提到“混合运算”和分数除法的“应用”，《中课标》对“混合运算”和“应用”提出了要求，所以在运算步骤、应用广度和深度上，中国也强于韩国．

3.2 教材中分数除法编排方式（组织结构）的比较与讨论

数学教材的编排方式应该寻求知识体系、逻辑顺序和心理生成的统一．分数除法的学习是分数四则运算的最后一项，也是后面运用分数及其运算的转折，在知识的整体结构和逻辑体系上起着承上启下的关键价值．

3.2.1 两版本“分数除法”的组织分布与结构特征

人教版中分数的除法全部集中在六年级上册（六上），科创版分布在数学5-2（五下）和6-1（六上）两册中，具体内容如表1．

表1 中韩“分数除法”内容分布

从教材的整体安排可以看出，人教版分数除法一章共有8小节，科创版两章共有11小节，两版本这部分知识的结构关系如图1．

编排结构图可以看出，两国的编排方式有很大不同，但教学内容均与课程标准相吻合，即人教版分运算和应用两部分，科创版将分数类型进行了分类，并特别有关于带分数的除法运算．

3.2.2 比较讨论

（1）两版本都注重了学习基础与循序渐进．

图1 人教版分数除法编排结构

图2 科创版分数除法编排结构

整体而言，两版本都是以“分数的除法意义”和“倒数”为基础（虽然科创版没有提出倒数概念），对分数除法的理解是从被除数是分数，除数是自然数开始，进而过渡到被除数和除数都是分数，不管是被除数还是除数，分数都是从简到繁，整体设计注重了学生的心理基础与生成．

（2）韩国科创版突显螺旋上升理念．

在教材编排方式上，螺旋上升与直线上升各有利弊，不同版本的教材有不同的编排理念与方式．当前大家普遍认同的是螺旋上升模式，尤其是对小学数学教材从整体内容安排来看，中国目前也提倡螺旋上升模式．但如果把分数除法作为一个知识体系看，无疑人教版偏重的是直线上升式编排，科创版偏重的是螺旋上升式编排．所以在集中程度上，科创版将分数除法的知识分散在两册中，较好地体现了“螺旋式上升”这一课程教材设计的基本原则[10]．相比之下，人教版更为集中，分数除法安排在一章中，完成了由基础到新知识再到应用的过程．

（3）中国人教版更注重知识的纵向应用．

从两版本的内容组织上看，人教版简单直接，更注重渗透数学知识的应用意识，尤其是分数除法在方程之后学习，所以这部分知识自然地与方程联系起来．如在学习了分数除法的运算之后，教材安排有3小节列方程解应用题，在解方程的过程中要运用分数除法的运算法则，这既是“无处不用数学”的体现，也是中国传统数学学习思想的体现．相比之下科创版的这两章则只讲了分数除法的算理与算法，并没有涉及应用方面．

3.3 教学内容呈现形式的比较与讨论

知识内容以什么样的方式呈现于教材，会直接影响教师的教学与学生的学习，不同版本教材内容的呈现形式也是教材比较研究的重要方面．中韩两国教材的分数除法部分在内容的呈现上有共同点，同时也各有特色．

3.3.1 两版本具体教学内容呈现举例

由上述图表可以看出，人教版在六上的分数除法一章有两个重点：一是分数除法的运算（算理）；二是在解决问题（解方程）中应用分数除法．

科创版教材共有11小节来讲授分数除法，第1、2小节为基础，后面9节均为含有分数的除法，在此，随机选择一节内容展示．如科创版6-1第2章第4节，内容为异分母分数的除法．如图3所示．

图3 科创版一节分数除法内容

3.3.2 比较讨论

（1）两版本都注重情境引入，情境各具特色．

适当的情境能够帮助学生理解正在学习的数学知识与数学外部世界的关系，并迅速带领学生走进知识殿堂，进而引导学生开展数学思考、解决数学问题．研究发现两版本都非常注重情境引入．人教版从第3小节开始，每一节都从一个设定的情境引出该节课要学习的知识；科创版几乎每一小节都从一个生动活泼的情境或是两个小学生的对话开始，提出该节课要解决的问题．

在情境素材的选取上，人教版通常以一个现实情境开始，如该章第4小节，是一个大夫与小学生的对话：“每次吃半片，每天吃3次”，“这盒药共有12片，可以吃几天？”情境来源于现实，有助于让学生认识到现实生活中的数学．

科创版的情境则一般不拘泥于现实，有的多了几分生动，有的则多了几分数学味道．如在图3中，给出的情境是将一根长棍子做成魔法棒，另外还有小朋友乘坐魔法扫帚到学校等情境．另如5-2第三章第1节的内容是分数除以自然数与分数乘分数的关系，教材给出的情境问题是：如果最大圆的直径是1米，那么最小圆的直径是多少米？如图4．

图4 科创版引入情境

这里通过融会数学中若干个基本问题，使得科幻情境中的数学味道更加丰富．虽然学生还没有深入学习圆的有关知识，但是从圆的基本性质，以及直观观察图形之间的关系，学生则容易理解其中的分数问题．

（2）两版本都注重利用几何直观帮助学生理解算理．

“数缺形时少直观”，几何直观是国际数学教育界的公认理念，也是《中课标》中的10个核心概念之一，同时，在中国《高中数学课程标准（2017版）》中，直观想象也是6个数学核心素养之一．不管是几何直观还是直观想象，都注重建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解抽象的算理，这是解决问题的有效手段之一．

在分数知识的教学中，利用直观图形帮助理解分数的概念、算理等已是大家认可的方法．中韩两国的教学内容中，注重运用几何图形来帮助学生理解分数除法．如人教版从分割长方形开始，到运用线段图来理解题意并帮助列方程、解方程．

（3）中国人教版更为概括和抽象．

相比较而言，科创版则用了11小节来讲分数的除法，11小节的区别主要体现与被除数和除数中分数的类型．由此可见，在内容的深度、抽象性和概括性上，人教版更为明显．

（4）韩国科创版更注重算法多样化．

图5 科创版学生活动

教材在完成了第一个问题后，总结给出了3种运算思路．思路一在中国的教材中并没有提到，文[5]提出在教学中可以采用这种思路，同时也说明这种思路有一定的局限性，但从培养学生数学思维的角度讲，对分数除法运算规则的推导不失为一种很好的思考方式．在没有认识到“除以一个数等于乘这个数的倒数”之前，从算理上讲，分数除法——除数或被除数是分数，最终必然要将两者化为整数进行计算[16]．思路二和思路三的区别在约分的顺序上．教材中对这3种运算思路的总结，实际上也是对这一章或者分数除法的一个总结，最后给出提示思考：请在上面3种计算方法中找出你觉得最简单快捷的一个，并说出理由．

由最后的一个思考提示可以看出，教材并不给学生规定一定要用哪种计算方法（思路），而是给学生提供多种选择，让学生主动纳入自我已有的认知结构．这种提倡算法多样化的思想也表现在韩国的数学课堂上，“会鼓励学生利用多元表征或多种方法解决问题，让他们在全班同学面前，呈现自己的解决办法，鼓励全班同学积极参与讨论，讨论不同方法之间的差异和联系或者最优方法的选择．课堂小结时，再次强调这些不同方法．整个过程中，教师不以方法的优劣来评价学生．采用多种方法解决问题，已成为韩国数学课堂普遍的社会规则”[17]．由此可见，从教材到课堂，注重算法多样化是韩国数学教育的特点．

（5）韩国科创版教材更注意发挥“学材”的功能．

科创版教材继承了韩国小学数学教材编写的理念，即教材也是学生学习的学材[10]．如在图3中，3个活动分别给出了计算思路，值得注意的是教材中每一步都不给出答案，以填空的方式帮助学生理解分数除法的意义，从引导学生的思考出发，让学生自己完成，最后在理解的基础上，归纳运算法则（两章分数除法的内容均为如此）．这种方式在中国的教材中并不多见．这并非是说中国不注重学材，相反，中国不同版本的教材几乎都配有相应的课堂练习册（同步练习册等），以至于英国在引进上海教材的同时也引进了相应的“一课一练”．从世界范围来看，教材的功能正在变成学材，呈现出从教的方面向学的方面转化的趋势，指向了教师的课堂教学实践，更是明确指向了学的主体——学生，这实际上也是教材满足数学课堂教学实践需要的一大转向[18]．科创版将教材与学材融为一体，也是教材功能转变的体现．

4 结语

教材中的其它内容，如章末练习题、章头图等，两个版本也呈现不同的特点，如科创版中的章末练习模块多样（故事、游戏等），章头图的设计、篇幅以及内涵上呈现出的开放性与多样化都值得借鉴．

科学知识本无国界，虽为东亚邻国，且具有相同的文化渊源，但由于国情不同，人教版的高效率、短平快，科创版的小步走、慢节奏都体现了中韩小学数学教材在分数除法内容处理上的特色．早有研究表明，“在涉及到整数的乘、除运算以及含有分数、小数的基本运算能力上来看，韩国学生的正确率略高于中国学生”[19]．无独有偶，在赵冬臣等关于职前小学数学教师教学知识（分数除法）的调查研究中发现，“韩国师范生在多数题目上的得分率都明显高于中国师范生；理解算理的韩国师范生的比例高于中国师范生；使用直观表征的师范生的比例高于中国师范生”[20-32]．这些研究结果以及两国教材中对分数除法截然不同的处理方式引发进一步深思，教材的编排对学生认识数及培养其运算能力的影响有多大；更为具体的问题如小学六年级是否可以接受带分数与相关运算以及带分数学习的意义与价值；在分数的乘除法学习中，是否有必要将分数分类（真分数、假分数、带分数）进行处理；将分数除法转变为整数除法（通分法）的弊端到底在哪里；九章算术中的通分术能否带给学生新的学习感悟？随着社会与时代的前进，如何进一步促进教材的多样化与开放性发展，使之更有助于师生开展数学教学与自主探究．这些问题也促使广大研究者审视教材编写中如何做到“学科逻辑与心理逻辑的均衡统一”“知识的学科性与文化性的均衡统一”“时代开放性与数学传统性的均衡统一”“国家特色与世界主流观念的均衡统一”[12]，这样才能推进教材的良性有序发展．

致谢：感谢中国海洋大学外国语学院黄大华教授的翻译指导与帮助．

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A Comparative Study on Fractional Division in Primary School Mathematics Textbooks between China and Korea

YANG Hui-jun1, GUO Rong-rong2, MENG Meng3, WANG Jing-ying1

(1. Teacher Education College of Qingdao University, Shandong Qingdao 266000, China;2. Second Experimental Primary School of Qingdao, Shandong Qingdao 266000, China;3. National Institute of Education Sciences, Beijing 100088, China)

Fractional division was significant to mathematics learning during primary school. Compared the curriculum standards between China and South Korea, it was found that both of them think highly of calculation rules: South Korea requires to master the calculation of mixed fractions, while China laid emphasis on the mixed calculation and application of fractional division. By further compared the content of fractional division in each textbook from macro and micro perspective, it was found that both textbooks took the basic and progressive learning content seriously: textbook in China had more focus on the vertical links of content and application, otherwise textbook in South Korea had more focus on the content spiraling upward. For the specific teaching content, both textbooks paid attention to setting the context for introducing the topic; paying attention to help students understand the fractional division by geometric intuition; textbook in China was more abstract and general, otherwise textbook in South Korea had more values to the diversity of algorithms and the “learning materials” function of the textbook.

primary school mathematics; textbooks; fractional division

G40–059.3

A

1004–9894（2020）02–0064–06

2019–12–21

青岛大学2017年教学研究项目——《数学文化》研究性课堂教学改革与课程建设——基于卓越小学教师的培养（2017JG26）；山东省哲学社会科学重点课题——山东省免费师范生招生、培养与聘用一体化研究（16BJYJ01）

杨慧娟（1974—），女，山东招远人，副教授，博士，主要从事数学教育和教师教育研究．

杨慧娟，郭蓉蓉，孟梦，等．中韩小学数学教材中分数除法的比较研究[J]．数学教育学报，2020，29（2）：64-69．

[责任编校：周学智、张楠]