一道流传甚广的错题的研究

【摘要】在科技日益发达的今天，知识的传播速度空前的迅猛，而一些错题也在各大网络和电子产品上快速的传播，并通过终端流传于各個学校之间，大多时候我们都只注重解题方法的实用性，忽略了题目本身的合理性和正确与否。稍有不慎这些题目就会出现在我们的身边，跃然于我们的考试中，却浑然不知。

【关键词】错题;网络;传播;学校;考试

【中图分类号】G633.6;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）07-0132-01

【例1】定义在R上的奇函数f（x）的导函数满足f′（x）

【来源】山西三区八校2017届高三第二次模拟数学（理）试题

【错解1】因为f（x）·f（x+3）=-1，所以f（x）的周期为6;

因为f（2015）=f（-1）=-e，因为f（x）是奇函数，所以f（1）=e，

令g（x）=，则g′（x）=<0，即g（x）在R上单调递减，且g（1）=1，f（x）1，故答案为（1，+∞）。

【错解2】f（x）是定义在R上的奇函数？圯f（0）=0<1=e，故答案为{0}∪（1，+∞）。

【例2】定义在R上的奇函数f（x）的导函数满足f ′（x）

【来源】（19年4月成都市郫都区高二期中考试第15题）;;;;【解】同上（此处略）

此两题大同小异，本质一样。在各地学校和网络之间流传。学科网，百度等皆可找到原题。而且目前主流的几款搜题软件（含作业帮、学霸君、小猿搜题）都能搜到本题及答案，解法基本一致，殊不知这是错题。

以例1为例，在网络及各类软件的答案中，仅一个为【错解2】的形式，其余均为【错解1】。此函数作为周期函数，f（-6），f（-12），f（-18）……都为0，且都满足不等式。那么{-6k}∪（1，+∞）其中k∈N，是否正确呢？答案是否定的，分析如下。

【错因初探】（以例1为例）f（x）·f（x+3）=-1？圯T=6;;;

f′（x）>…

定义在R上的奇函数f（x）？圯f（0）=0？圯===…=0

显然结论相互矛盾，由此可见，本题中的条件是互斥的。因此本题为错题。

【错因再探】将“定义在R上”删去，上述答案是否正确呢？

由上面的分析可知，f（0）=0与单调条件矛盾，故f（0）≠0，又f（x）是奇函数，故0不在定义域中，则{-6k}其中k∈Z，都不在定义域中。

故，上述答案仍然错误。

分析：f（x）是奇函数，若？埚x0，f（x0）<0，则f（-x0）>0

又f（x）周期函数，则f（x0+kT）<0，f（-x0+kT）>0，其中k∈Z。

即，在定义域上f（x）函数值正负摆动，则g（x）=必然正负摆动。

即，g（x）=不可能是单调函数。

故f（x）≡0，这与f（x）·f（x+3）=-1，f（2015）=-e都矛盾。

综上，奇函数条件，加周期条件，必然与f ′（x）

【错因深究】将“定义在R上的奇函数”改为“定义在R上的偶函数”呢？

即偶函数条件，有周期，且f ′（x）

其实只需取f（x）=（cos（x）+2），经验证，上述三个条件能成立。

只不过却找不出原函数与条件“f（2015）=-e”同时满足。

分析：f（2015）=-e<0，即f（2015+kT）=f（2015）<0，其中T为最小正周期。

∴g（2015）=<·=g（2015+T）<0

故，与g（x）=单调递减冲突，即与f ′（x）

【错误根源】“偶函数”条件下，再将条件“f（2015）=-e”改为“f（2015）=e”呢？

分析：f（x）·f（x+3）=-1，则必？埚x0，f（x0）<0，即f（x0+kT）=f（x0）<0

也有g（x0）=<·=g（x0+T），故冲突。

结论：综上所述，一切都是负值惹的祸，负值是矛盾产生的根源。

奇函数隐含正负，故原题矛盾。f（2015）=-e为负，故改编矛盾。

f（x）·f（x+3）=-1也有隐含正负值，故上述改编仍然矛盾。

【试题改编】由上文中的结论，此题有三个隐含负值的条件，改编方案如下：

①将条件“R上的奇函数”改为“R上的偶函数”

②将条件“f（2015）=-e”改为“f（2015）=e”

③将条件“f（x）·f（x+3）=-1”改为“f（x）·f（x+3）=1”，则原题可解。

【新编】定义在R上的偶函数f（x）的导函数满足f ′（x）

【解】略。

【注】可以构造分段函数验证本条件下确实存在函数满足上述条件，过程略。

【新编】定义在R上的奇函数f（x）的导函数满足f′（x）≤f（x），且f（x）=f（x+6），则不等式f（x）

【解】由以上的分析可知f（x）≡0，f（x）=0

作者简介：

谢朝（1987.5.6-），男，四川省巴中市通江县人，教师。