数学素养课堂落实的思考

罗增儒

【摘要】开展数学核心素养的教学，把握数学本质是前提。在认识现象与本质的基础上，作者对把握数学的本质进行了数学是什么、教学抓什么和具体怎么抓三个层面的思考，认为数学思想是由数学知识通往数学核心素养的桥梁。教师开展数学核心素养教学的一个基本框架是把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出相关的数学问题，引发学生的认知冲突，组织互动探究（或主题站位）的教学活动，形成“数学化”的深度学习。

【关键词】素养教学;现象与本质;数学本质;数学思想;课堂落实

当前的数学教学已经从知识导向转为素养导向，大家都在探索如何开展数学核心素养的教学。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程标准（2017年版）》）指出，基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。这句话既明确了数学素养教学的课堂落实方向，又强调了把握数学本质是展开“基于情境、问题导向、深度思维、高度参与”教学的大前提，数学核心素养的教学决不是剥离数学、远离本质的表面热闹的行为。那么，什么是本质？如何把握数学的本质？如何通过把握数学的本质落实数学核心素养的教学？本文将进行初步的探讨。

一、现象与本质的关系

任何事物都有现象和本质两个方面，它们是一对范畴。现象是事物的外部联系，是本质的表层呈现，具有丰富性、多样性和表面性的特征，由感觉器官即能感知;本质是事物的内部联系，是现象的深层结构，能决定事物的性质和发展的趋向，具有单一性、稳定性和深刻性，需由思维才能把握。人们认识事物，总是在实践中通过对现象的分析，去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，实现从现象到本质的升华。下面以两个案例进行说明。

案例1：第二次世界大战期间，英关军方根据作战后幸存飞机上弹痕的分布情况，决定哪些地方弹痕多就加固哪里。然而，统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，他的思考就是要透过现象看本质。试想，如果弹痕多的地方就是飞机的要害，那么为什么飞机还能飞回来？这就说明，弹痕多的部位并非要害，而弹痕少的部位才可能是飞机的要害，要害处被击中的飞机就都难以幸存了。

案例2：作为对现实世界空间形式的抽象，19世纪的几何不仅有欧几里得几何，而且还有射影几何、仿射几何等。1872年，德国数学家克菜因在爱尔兰根大学开学致辞时，做了题为“新几何研究上比较的观点”的演讲，提出“几何变换群”的著名观点——后人称为“爱尔兰根纲领”。这篇演讲总结了射影几何、仿射几何等各种几何发展的结果，认为每一种几何学都可以看作是在某种变换群下几何图形的不变性和不变量的科学体系。由于欧几里得几何主要研究全等形和相似形，从变换群的观点来看，就是研究相似变换群及其子群（合同变换）的不变性和不变量。合同变换是保距变换，相似变换是保角变换，这两种变换是中学图形变换的数学背景。在这里，克莱因用“不变量”的思想来揭示各种几何的数学本质。

二、数学的本质

如同事物都有现象和本质一样，数学对象也有内容与本质两个方面。数学内容表现为概念、法则、性质、公式、公理、定理等看得见、可呈现的数学事实;而数学本质则是这些丰富内容所共有的深层结构和实质思想，需要实践、反思才能认识。从课堂教学的需要出发，笔者对数学本质进行了三个层面的思考。

1.从宏观层面思考，认识数学是什么

《课程标准（2017年版）》指出，数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。这就从宏观层面揭示了数学概念、法则、性质、公式、公理、定理等的一般性共同本质，关键词有抽象、推理、模型、符号、形式。

这种认识，既与把数学看成概念、法则、性质、公式、公理、定理等事实的集合不同，也与把数学看成处理和求解各类数学问题的各种方法和技巧的汇集不同，而是把数学看成人类的一种创造性活动。数学观决定教学观，前两种认识会使人不自觉地把数学知识看成是一种可以由教师传递给学生的纯客观的东西，系统、完整、大容量的数学课堂可能就会成为教师的追求目标;教师也会特别看重自己教学过程中的示范作用，从而提倡学生在学习过程中的模仿和识记。这样一来，数学学习就会以“接受”为主，体现知识导向。

而把数学看成人类的一种创造性活动就会把数学教学当作学生在原有认知结构基础上构建新认知结构、促进个人发展的一项创造性活动，关注学生获得知识的参与过程，精心创设有利于学生思维的教学情境，鼓励学生进行数学探究活动，使学生学会“数学地思维”（更一般地，通过数学学会思维）。这样一来，数学学习就会以“再发现”为主，体现素养导向。

2.从中观层面思考，明确教学抓什么

数学思想是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识。因而，中学阶段抓数学本质，可以首先抓住以下一些数学思想：用字母表示数，集合与对应，方程与函数，数形结合，分类与整合，转换与化归，特殊与一般，或然与必然，有限与无限，数学模型等。

教师进行数学思想的教学，需对教材进行数学思想提炼，对情境进行数学思想设计，对难点进行数学思想突破，对解题进行数学思想指导，对总结进行数学思想反思，将数学思想支配數学教学实践活动的全过程。

由于数学思想蕴含于具体的内容与方法中，又经过了提炼与概括，是隐性的深层知识，因此需要教师在具体的教学中做有意识的启发，其基本途径是在教学中自觉暴露数学事实的思维过程。如数学概念的形成过程，数学定理的发现过程，数学结论的探究过程，特别是在知识总结阶段的反思，以及反思中对思想的概括和提炼。这就要求教师把教学纳入学术活动的轨道。

3.从微观层面思考，学会具体怎么抓

教师要学会提炼具体的数学内容所体现的数学思想。比如函数是客观事物运动变化和相依关系在数学上的反映，本质上是集合间的对应（一种特殊的对应）。它是中学数学从常量到变量的一个认识上的飞跃，考虑到学生的接受水平（也尊重知识的发展历史），初中阶段将其定义为变量（因变量），到了高中阶段就直接把函数定义为集合间的映射。

我们在小学阶段曾学过“含有未知数的等式叫做方程”，但这只是方程的表象，它的本质是含有未知量等式，f（x）=g（x）所提出的问题。首先，这个等式可以表示两个不同事物具有相同的数量关系，也可以表示同一事物具有不同的表达方式;其次，在这个等式所提出的問题中，x依等式而取值，问题依x的取值而决定是否成为等式。解方程就是确定取值a，将其代人x时能使等式f（a）=g（a）为真。这里有两个最基本的矛盾统一关系，其一是f（x）、g（x）间形式与内容的矛盾统一，其二是x客观上已知与主观上未知的矛盾统一。从这一意义上说，解方程就是改变f（x）、g（x）间形式的差异以取得内容上的统一，并使x从主观上的未知转化为客观上的已知。由此可见，方程的解体现充分条件，解方程的过程体现必要条件，方程的所有解体现充分必要条件。

理解并掌握方程与函数的数学思想方法是学好中学数学的关键。

中学阶段学习的数轴，表象是“含有三个要素”的直线，而本质却是“实数集合”与“直线上点的集合”之间的两个思想：集合与对应以及数形结合的数学思想。同样，平面直角坐标系、平面解析几何、平面向量等也有“实数对集合”与“平面上点的集合”之间的两个思想。有了这样的认识后，“复数”就好理解了：实数对应直线（数轴）上的点，复数对应平面（复平面）上的点。

小学和中学都有“用字母表示数”的课题，有的教师把它当作一种方法或技巧来教学。其实，“用字母表示数”是一种数学思想，因而，“用字母表示数”课题的教学，应该是数学思想的教学（有别于定理、法则和方法的教学），其背后还有符号思想、代数思想和函数思想。

直线的本质特征是由无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无限延伸，没有宽度，很直很直等，但是无法用更基本的概念来加以定义。直线公理“两点确定一条直线”就是直线本质属性的一种直观描述。试想，如果“直线”不是很直很直的，那经过两点就可以连出很多曲线;如果“直线”不是两端可以无限延伸的，那经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多直线来。所以，“两点确定一条直线”表明，直线是由无穷多个点组成的一个连续图形，两端可以无限延伸，很直很直。与点没有面积相一致，点动而成的直线也就没有宽度。同样，说“两点之间线段最短”，其实也是用“距离的最小性”来描述“直线的‘直”。

类似地，高中的平面公理是平面本质特征的一个刻画。平面可以无穷延伸，很平很平等不能严格定义，但用公理能刻画出来。试想，如果“平面”不是无穷延伸，那么有一个公共点的两个平面就可能只有一个公共点或延伸出有限长的公共线、公共区域;如果“平面”不是很平很平，那么即使无穷延伸也有可能得出公共曲线。同样，如果“平面”不是很平很平，那么由于直线很直，即使直线有两个点在平面上，也不能保证整条直线都在平面上。所以，平面公理表明，平面可以无穷延伸，很平很平。

勾股定理的本质是直角三角形的代数描述。由直角三角形与等式c²=a²+b²可以互推表明，它们是同一件事情，只不过有几何描述（形）与代数描述（数）的形式区别。同样，余弦定理的本质是三角形的代数描述，由三角形与等式c²=a²+b²-2abcosC可以互推表明，它们是同一件事情，只不过有几何描述（形）与代数描述（数）的形式区别。

定理“等腰三角形的两个底角相等”的本质是等腰三角形具有自对称性。也就是说，等腰三角形可以拿起来做一个空中的翻转后，回落下去与原来的位置重合。这是非等腰三角形所不具有的特性（可以全等，但仅仅平移、旋转还无法重合），把这种特性写下来就是等腰三角形性质定理的一个有趣证明。

三角形的内角千差万别，但有一个“不变性”的本质，那就是三角形的内角和等于180°。进一步还有n边形的内角和等于（n-2）×180°，n边形的内角和是随着边数的变化而变化的，但不管是三角形、四边形，还是n边形，它们的外角和都等于360°，所以说，外角和更加本质。从三角形内角和的不变性本质到n边形外角和的不变性本质，说明数学本质也有层次性。

小学“圆柱表面积”的教学，表面上看是公式教学，而公式的背后是转换与化归的数学思想（如图1）和“变动中的不变性”（克莱因观点）。在教学过程中，由生活原型提炼数学概念可以体现数学抽象，由操作探索提炼数学公式可以体现逻辑推理，这两个提炼都有直观想象，都是通过数形结合来完成的，有助于学生空间概念的发展，至于实际应用中的正确列式和准确计算则有助于发展学生的数学运算核心素养。

下面是用方程与函数的数学思想指导解题的两道例题。

例1

甲是乙现在的年龄时，乙10岁;乙是甲现在的年龄时，甲25岁。问甲、乙谁大？大几岁？

解：在已知条件中，由于不知道甲、乙“现在的年龄”而不知道怎么用;又由于不知道甲、乙谁大，想运算却没办法下手。运用字母表示数的数学思想，可设甲的年龄为y、乙的年龄为x，他们相差k岁，k是一个常数，约定当k>0时，甲比乙大，而当k<0时，乙比甲大，则有一次函数关系y=x+k。

①

这时，已知条件便是这个函数的三次取值（如图2）。

三、课堂落实数学素养教学的两个建议

在理解《课程标准（2017年版）》的精神后，关于在课堂中如何落实数学素养教学，笔者提出以下两点建议。

1.明确一个认识

数学思想是由数学知识通往数学核心素养的桥梁。《课程标准（2017年版）》提出的六个数学核心素养源于数学学科知识又超越数学学科知识。知识是培养数学素养的载体，活动是培养数学素养的渠道。数学素养是学生在学习数学课程的过程中形成的，是对数学本质的深刻认识和深度把握，它能够引领学生将习得的数学知识和技能应用到日常生活中，帮助学生用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维分析和解决问题，用数学的语言表达和交流问题。这是从“数学知识”（载体）到“数学思想”（桥梁）再到“数学素养”（目标）的逐层深入和逐级提升。其中，数学思想是由数学知识通往数学核心素养的桥梁。如果离开知识，素养就会成为无根之花、无源之水;而数学知识如果不深人到数学思想，那知识与素养就始终是没有桥梁连接的川流两岸。作个比喻，数学知识就如同一块铁矿石（看得见、摸得着），数学思想是隐藏在矿石里的铁（要加以提炼才能得出来），而数学素养则是组成铁的元素。

2.值得探索的一个框架

数学素养的形成，不能单纯依赖教师的教，而是需要学生参与其中：不能单纯依赖记忆与模仿，而是需要感悟与思维。它应该是日积月累的、自己思考的经验和积累。因此，基于数学核心素养的教学，要求教师把握内容的数学本质，创设合适的教学情境，提出相关的数学问题，引发学生的认知冲突，组织互动探究（或主题站位）的教学活动，形成“数学化”的深度学习，这是数学素养教学的一个基本框架。基于这一框架的教学，能让学生在掌握知识技能的同时，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，发展具有数学基本特征的思维品质、关键能力和价值观念。

（责任编辑：陆顺演）