有效操作：为学生的数学学习导航

王秀银

摘  要：有效的、可视化的数学操作不仅仅是让学生“动手做”，更重要的是要调动学生的数学思维、催生学生的数学想象。经验操作、思维操作和想象操作为学生的数学学习启航、领航、续航。作为教师，要为学生的数学操作护航，将学生的操作与思考、观察、表达等结合起来，实现数学学习的再创造。

关键词：小学数学;有效操作;学习导航

动手操作是增进学生数学知识、发展学生数学技能的重要载体、媒介，是有效地发展学生数学思维、提升学生数学学习、发展学生数学核心素养的金桥。有效的、可视化的数学操作不仅是让学生“动手做”，更重要的是要调动学生的数学思维、催生学生的数学想象。动手操作体现了学生数学学习手脑的协同，表征了学生数学学习经验、表象、表征、直观、迁移、再造等深度融合。

一、经验操作：为学生的数学学习启航

经验是学生数学操作的根基，经验性的操作，能开辟通道，为学生数学学习启航。在数学教学中，操作不能远离学生的经验，而应当与学生的经验相契合。只有切入学生的经验系统，操作才是有效的，才能引发学生的认知兴趣，激发学生的认知冲突，焕发学生的思考、探究激情。

瑞士心理学家皮亚杰认为，“操作是智慧的发端”。只有联通学生的经验进行操作，才能深化学生的数学认知、理解。比如教学“三角形的内角和”（苏教版四年级下册），教师就可以基于有形的“测量”“剪拼”等方法引导学生进行经验性操作。在操作过程中，有学生建议按照三角形的分类，分别对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形进行测量。通过量角器的测量、计算，学生发现三角形三个内角的度数和始终在180°左右。有学生将三角形的三个角折起来，形成了一个平角加以证明;还有学生将三角形的三个角撕下来合在一起，也拼成了一个平角，等等。经验性操作，让学生认可了“不同的三角形，它们的内角和都是180°”的规律。在经验性操作中，不仅可以让学生动手，而且可以让学生动眼、动耳。只要充分调动学生的多种身体感官，就能充分释放学生内在的操作力。只要联通学生的经验，操作就能提升学生的整体学习效能。

经验性操作是一种最为基本的操作，能为学生的数学学习启航。经验性操作，不断刺激学生的大脑皮层，从而唤醒学生的经验，让学生的经验不断地处于活跃状态。当然，这里所指的经验，不仅包括知识经验，还包括技能经验、思想方法经验等。链接学生经验的操作，能让学生的操作潜能绽放、释放。

二、思维操作：为学生的数学学习领航

对于“操作”，笔者认为，教师不能将其做机械的、形而下的理解，将“操作”降格为简单地“动手做”，甚至狭隘地理解为“劳作”。实际上，数学意义上的“操作”，一刻也离不开学生的思维。只有手脑协同的做思共生的操作，才是本真意义上的操作。事实上，学生的动手操作绝不可能也绝不仅仅是用手做，还应该包括用脑思。正因为如此，我们认为，思维性操作能为学生的数学学习领航。

比如教学“十几减九”（苏教版一年级下册），笔者给学生提供了齐性的学具——小棒，让学生探索“13减9”的计算方法。不同的学生，其思维路向、思维特点是不同的。有的学生先拿掉一捆小棒以外的3根，再从一捆小棒里拿掉6根，得到还剩下的4根;有学生先从一捆里拿掉9根，再将剩下的1根与3根合并起来，得到了4根;还有的学生一开始就将一捆小棒拆开来，变成了松散的13根，然后用数数的方法一根一根地拿，最后拿掉了9根，得到了剩下的4根，等等。不同的学生，其外显的操作形式是不同的，反映了学生的内隐思维也是不同的。除了一根一根地数之外，其余的两种方法都表现了学生的创造性思维，都具有重要的方法性价值。根据第一种操作方法，笔者引导学生建构了“平十法”的算法模型;根据第二种操作方法，笔者引导学生建构了“破十法”的算法模型。正是通过思维性操作，让十几减九的算法探究水到渠成。

操作无思维则盲，思维无操作则空。操作是学生数学学习的外在表现形态，思维是学生数学学习的内在心理运行方式。操作为学生的思维提供了外援帮助，思维为操作提供了内源支撑。思维性操作，不仅释放了学生的操作潜质，更释放了学生的思维潜质。从某种意义上说，只有思维性操作，才能让学生达到对数学知识的本质理解。

三、想象操作：为学生的数学学习续航

感知操作、经验操作能让学生获得丰富的表象，常常能为学生的数学学习提供向导。而思维操作则是对数学材料的深度加工，能对学生的数学学习进行领航。在学生的数学学习之中，还有一类特别的操作，这就是想象操作。想象操作不同于感知操作、经验操作、思维操作等的现实操作，想象操作是一种可能的操作，因而能为学生的数学学习续航。

爱因斯坦这样说，“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力却能概括世界上的一切，并且推动着科学进步”。比如教学“正方体的展开图”（苏教版六年级上册），笔者发现，许多教师重视学生的动手操作，但没有将操作和想象结合起来，导致这样的操作沦落为学生的机械操作、盲目操作，从而不能有效地发展学生的空间观念。笔者在教学中，将学生的想象与操作结合起来，引导学生一边操作、一边想象。通过对许多正方体不同展开方式的展开图的比较，学生发现，相对的面如果在同一行或者同一排，中间就只隔一个面;而相对的面如果不在同一行或者同一列，中间隔着一些面。有了这样的发现，笔者引导学生进行反向操作。通过出示一些正方体的不同的展开图，让学生看着展开图直接想象并说出哪些面是相对的，哪些面不是相对的，哪些面是相邻的。在此基础上，让学生将正方体的展开图还原成正方体。通过这样的正反两方面的操作，能深化学生的操作感受、体验。在想象操作中，有学生还对正方体的展开图进行了归类，比如“141型”的（即两边分别是一个正方形，中间有四个连着的正方形），比如“231型”的、“222型”的、“33型”的，等等。

当操作遇上想象，当想象与操作共舞、齊飞时，就能延展、扩充学生的认知。正是在这一意义上，我们认为，想象操作能为学生的数学学习续航。

作为教师，要主动介入，为学生的感知操作、经验操作、思维操作和想象操作护航。在数学教学中，要充分发挥操作的多样化、多功能性的效能，将学生的操作与思考、观察、表达等结合起来，实现数学学习的再创造。