高中数学直观想象素养能力的培养与研究

张舒

[摘  要] 在高中数学教学中，培养学生的直观想象素养能力，就是高中数学教师的一项重要任务. 直观想象素养能力的培养，需要重视学生在数学学习中表现出来的思维特点，只有学生在数学学习的过程中能够让生活经验有效地变成先行组织者，能够有效地让自己的元认知去监控、调节并设计学习内容，那么学生的直观想象素养能力的培养也就有了一个比较坚实的基础. 在高中数学教学中，尤其是在涉及图形或者图像的时候，要意识到这就是一个重要的直观想象素养能力培养的契机. 高中数学学科核心素养的每一个要素的落地，都需要放在核心素养的体系中来理解与实施.

[关键词] 高中数学;直观想象;素养能力;培养研究

在高中数学教学中，核心素养的培育已经成为当前的主题，而根据《普通高中数学课程标准》的界定，高中数学学科核心素养包括六个核心素养要素，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析等. 其中，直观想象原本是指几何直观和空间想象，在当前的语境下又被理解为借助空间想象感知事物的形态与变化，并利用几何图形理解和解决数学问题的能力素养. 通常认为，几何直观是发现和提出数学命题、理解数学命题、探索论证思路的重要辅助手段，是建构抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是建立数学直觉的基本途径. 因此在高中数学教学中，培养学生的直观想象素养能力，就是高中数学教师的一项重要任务. 笔者在教学中，基于高中数学直观想象素养能力的培养，进行了理论与实践两个方面的探究，取得了非常重要的认识.

作为素养的直观想象的理论建构

作为高中数学学科核心素养六个要素中的重要的组成部分，直观想象与其他要素不同的地方在于，其既涉及具体的数学学科知识——几何直观（当然包括了数形结合的思想在内），也涉及思维的重要组成部分——想象是重要的思维能力，基于已有的现实进行有效的想象，是学好数学的基础. 这一结论得到了理论的充分证明，有关直观想象能力发展的几何学习理论主要有范希尔的几何思维发展模型和杜瓦尔的几何认知关系模型. 直观想象能力的培养除了应重视關键期的数学教学，还要提供恰当的“先行组织者”，激发学生的元认知监控、调节，设计适当的探究性问题.

所以从很大程度上来看，直观想象素养能力的培养，需要重视学生在数学学习中表现出来的思维特点，只有学生在数学学习的过程中能够让生活经验有效地变成“先行组织者”，能够有效地让自己的元认知去监控、调节并设计学习内容，那么学生的直观想象素养能力的培养，也就有了一个比较坚实的基础.

众所周知，函数是高中数学的一个重要内容，函数知识的学习与数学直观素养能力有着非常密切的关系. 虽然说函数的特征，相当一部分内容是由语言公式来表示的，但是函数的图像，却是学生理解函数特征的一个重要载体. 也恰恰是函数的图像，是学生学习函数知识的一个难点，尤其是在遇到复杂函数的时候，相当一部分学生无法寄予函数的解析式或其他知识，去迅速而有效地反映出该函数的图像是什么样子.

以对数函数为例，如果说学生能够通过机械记忆等方式去记住对数函数的概念与解析式的话，那么在理解对数函数的图像时，只靠机械记忆显然是没有任何用处的. 很多时候教师都会用习题训练或者重复记忆的方法，来帮学生进行所谓的巩固. 严格来讲，这其实不是一种有效的教学策略，只是用学生在学习中表现出来的比较低级的重复记忆的方法，来让学生对对数函数的图像形成刻板的记忆. 相反，如果能够有效地借助于直观想象素养能力，那么就可以引导学生在认识对数函数的图像时，走入佳境. 同时在这样的一个过程中，又为学生创设了一个直观想象素养能力培养的契机，于是对数函数的图像与直观想象素养能力的培养就形成了一个相互促进的关系.

从理论的角度来看，这一思路是有效的. 因为既然以直观想象素养能力作为重要的思路，那就可以有效地让学生的元认知去监控自己的学习过程，同时让大脑中的“先行组织者”充分地发挥作用.

指向能力的直观想象的实践探究

基于上述理论分析的思路，笔者在教学实践中进行了积极的探究. 上面以对数函数的教学为例，来谈谈如何在对数函数图像的学习过程中，让学生的直观想象素养能力得到有效的培养，同时又以直观想象素养能力，来为对数函数图像的学习提供有力的支撑. 需要指出的是，在实践探究的过程中，笔者还积极借鉴他人的研究思路，从而尝试让自己站在别人的肩膀上，能够看得更远. 有同行认为，基于直观想象素养能力的培养，可以结合课堂教学从培养学生建立数形联系呈现几何直观、借助特殊模型积累空间想象以及理解图像特征迸发直观洞察三个方面阐述如何培养直观想象素养，并促进学生各种数学能力的提升.

其实，对数函数的图像学生学起来之所以觉得困难，一个很重要的原因就在于：相对于基本函数而言，作为指数函数的逆函数，学生在学习的时候，需要对对数函数的定义、解析式等进行综合的加工，然后在此基础上，有效地形成直观性的认识，进而再进行有效的想象. 这样，直观想象素养能力的提升，就有了一个可靠的载体. 在具体的教学过程中，可以分成这样的几个环节：

第一个环节：以一个简单的对数函数为例，如y=log2x，让学生结合这个例子，对照对数函数的概念与定义，尤其是在定义域内，通过想象与计算，去确定一些基本的同时具有一定代表性的点. 如果不出意外，这个时候绝大部分学生都会通过心算的方法，在大脑里面去选出一些简单的、基本的数据，然后确认这些点就在函数的图像上. 调查研究表明，尽管找到了这些点，这个时候相当一部分学生仍然无法想象出对数函数的图像是什么样子. 于是就要下一步设计.

第二个环节：这个环节的主要任务是让学生进行对比，对比的对象就是指数函数，因为对数函数是指数函数的幂函数，而经过此前一段时间的学习，学生对指数函数的认识已经比较充分，尤其是对指数函数的图像，已经有了一个清晰的表象. 所以这个时候，让学生进行比较，实际上就是用学生的元认知，去监控指挥学生自身的学习. 这个环节在实施的时候，可以让学生去比较y=2x和y=log2x，比较的过程中学生会逐步发现，同一个坐标对应的两个不同函数的点，似乎存在着一种对应的关系. 等到学生有这个认识的时候，教师就鼓励学生大胆地进行想象——这个想象其实就是基于直观的想象，是学生在大脑中基于指数函数的图像去构思对数函数图像的过程.

教师此时要观察学生的学习过程，笔者在巡视学生学习的时候，见不少学生在草稿纸上能够初步的作出比较粗糙的指数函数与对数函数的图像，且学生已经猜想出两者之间可能存在着某种对称关系时，笔者再趁热打铁，借助于多媒体用Excel去生成图形，结果发现电脑生成的图形与自己的想象基本一致，这实际上也就确认了学生的想象是正确的.

通过上述过程，学生的直观想象素养能力得到了培养，同时对数函数图像的建构又得到了有效的实施，因此这样的一个教学过程是有效的.

在核心素养体系中培养直观想象

反思以上这样一则教学案例，笔者得出了一个重要的认识，这就是在高中数学教学中，尤其是在涉及图形或者图像的时候，要意识到这就是一个重要的直观想象素养能力培养的契机. 无论是纯粹的图形或者图像知识的学习，如几何知识的学习，还是数形结合相关的知识的学习，如函数知识的学习，都孕育着丰富的直观想象素养能力培养的机会.

而结合高中数学学科核心素养，比较体会更深的一个认识就是：高中数学学科核心素养的每一个要素的落地，都需要放在核心素养的体系中来理解与实施. 直观想象素养能力，作为与数和形直接相关的一种能力素养，将其置于数学学科核心素养的体系当中，可以发现他与其他的要素，实际上也是存在许多密切的关系的. 比如说其与逻辑推理之间的关系，就与思维中的逻辑思维与直觉思维的关系非常类似，这也就给直观想象素养能力的培育提供了一个新的视角.

同时在数学学科核心素养这个体系中，还需要高度重视学生的主体地位. 在建立以学生为主体、教师为辅的数学学习活动中，直观想象有利于促进学生的知识与能力形成，有利于提高学生分析和解决问题能力，从而养成良好的数学思维习惯、创新意识以及应用数学意识与欣赏数学之美. 很显然，这是一种综合性的描述，在数学学科核心素养体系的背景之下，无论是选择哪个要素作为突破口，都可以有效地带动其他要素的落地.

以上是笔者基于高中数学直观想象素养能力的培养与研究所形成的一些浅显认识，所总结的内容如果存在一些不妥当的地方，还希望得到专家同行的批评指正.