数学概念课教学设计的实践与解析

胡浩　马林

[摘  要] 基于“数学课程标准”的刚性要求，以培养学生“数学核心素养”为教学行动指南，对近期的一节市级示范课“等差数列”（第一课时）进行了课前思考、教学设计、示范教学和课后反思，进而对数学概念课教学设计的实践进行解析，并提出自己的主张.

[关键词] 数学概念;等差数列;教学设计;解析

问题的起因

概念是科学的细胞，数学概念是数学的桩基. 数学概念是反映数学对象的数量关系、结构关系和空间形式本质属性的思维形式，是数学知识、思想、方法与观念的主要载体.数学的学习过程，就是不断地建构各种数学概念的过程，数学概念教学是数学教学的主要形式和重中之重.

基于以上思考，笔者近期开设了一节市级示范课“等差数列”（第一课时）[1]，其目的就是通过“简单课”“常态课”的教学，自我研修，倒逼自己深入钻研数学概念教学的实践行动与策略，促进自己的专业发展.现把这节课的前前后后整理出来，抒发真实感受，以作为引玉之砖.

课前思考——如何设计？

观念，是高位的教学目标.形成自己的个性化课程，是教师专业发展走向卓越的必然要求. 在进行教学设计之前，除研究课标、研究教材和研究学情之外，基于数学核心素养的课程目标，笔者着重思考了三个问题.

1. 教科书上的引入情境，是否合理科学？

教科书是这样引入等差数列的：从四个实例（数数、奥运会轻量级体重、水库每天的水位、单利的本息和）中抽象出四个数列，然后采用“填空”的方式得出“等差数列”的概念. 这样引入，好处是让学生体会数学来源于实际，数学概念是在解决数学内部或外部的需要中产生的;不妥之处也很明显，由实例得出的四个数列指向性太强，束缚了学生对数列全面认识的思维. 实际上是给学生下了一个套，教师牵引着学生往套里钻，然后再“扎紧口袋”，不利于培养学生的创造性思维，不利于张扬学生学习的个性特征与品质.

基于此，笔者重新设计等差数列的引入环节，创设学生知识“最近发展区”内的情境（问题），激发学生迅速打开思维的闸门，即时投入到概念学习中. 通过从一些数列中识别出特殊数列，确定数学研究对象及其构成要素之间的关系，让学生初步感知等差数列的特征. 培养学生观察、归纳、发现和研究的能力，培养学生数学直观的素养.

精心挑选一些数列，有递增、递减、常数列，有摆动数列、变号数列，不过于复杂，不过于发散.让学生自主“识别”并命名等差数列，培养学生的研究意识，同时对数学概念进行命名也是对学生进行一种数学文化的熏陶.

2. 等差数列的通项公式，要不要证明？

抽象和推理是数学的显著特征，通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进数学本身的发展. 数学教育的核心价值应当是发展学生的思维能力，归纳猜想是科学发现的源泉，猜想为问题的解决指明了方向. 以数学问题驱动学生的思维活动，通过归纳猜想得出等差数列的通项公式，是否正确，还需要严格的推理证明. 藉此，让学生感悟科学研究的方法，培养学生的理性思维能力和严谨求真的学习习惯，培育学生数学直观和逻辑推理的数学核心素养.

3. 等差中项的概念，究竟何时呈现恰适？

“优化课程结构，突出主线，精选内容”是《普通高中数学课程标准（2017年版）》四大基本理念之一. “优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择;突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法.”[2]毋容置疑，落实新课标理念是数学教育工作者义不容辞的責任. 学习活动是学生发自内心的自觉行动. 为了突出“等差数列概念”的本原性与核心地位，把“等差中项”以问题（例题）的形式呈现，让学生解决，并顺势提出问题：如何表示出成等差数列的三项？通过问题解决，形成概念间的内部逻辑关系，提高学生对等差数列概念的理解层次与应用水平，培养学生数学思维的发散性与深刻性.

课堂教学效果综述

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动、共同发展的过程.结合学生的实际情况以及本节内容的特点，采用以“问题教学法”为主导，结合小组讨论等策略进行教学. 用数学问题驱动学生的思维活动，在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，学习兴趣被极大地激发了起来，提高了他们发现问题和解决问题的能力，培养了学生数学研究的意识和能力，这正是数学核心素养对课堂教学提出的要求.

采用多媒体互动和传统黑板板书相结合的教学手段.通过PPT演示和展台操作，提高课堂教学效率，增加物理时间，为掌握理性知识创造条件;通过有计划的板书和演练，助力学生对重点内容的理解和对思想方法的掌握.

课后议课的评价：本节课从六个数列入手，通过寻找特殊数列、尝试命名、探究通项等活动，不仅较好地复习了旧知，还打开了学生思维的闸门，让新知自然形成.培养了学生数学直观、逻辑推理的核心素养，锻炼了学生在面对新问题时的研究能力，感悟了科学研究的方式与方法.别具匠心的教学设计，彰显出教者深厚的教学功底，透析出教者对数学概念课教学的深入思考.

自己的课后反思：通过教学实践，感觉教学设计与教学生成之间还存在一点差距，个别环节不是很顺畅，需要教师的牵引，表明对学情的研究还不够深入. 课堂上学生几乎没有提出有价值的问题，生成的学习资源较少，因而，教会学生根据学习的感受提出问题并加以解决，是急需培养的能力之一.

[?]实践解析——数学概念教学之主张

数学概念课教学，需遵循“以问题结构推进教学”的原理，契合其产生发展的脉络. 教学过程必须符合学生的认知规律，顺应人性的发展，绝不能把数学概念“强推或硬塞”给学生，而是要顺应数学内部或外部力量的推动，自然式必然性发生.

1. 概念教学情境要揭示数学对象的本质

德国教育家卡尔·雅斯贝尔斯说：“教育的关键在于选择完善的教育内容，尽可能使学生之‘思导向事物的本质而不误入歧路.” 数学概念总是产生、发展和形成于一定的现实的或科学的或数学的情境之中，因而，概念教学必须要从具体情境出发，概括出数学对象的一般特征，把基于“思考”的扩张式抽象与基于“应用”的结构式抽象相结合，透析出数学概念的本质. 教师在创设情境时，首先要明确，情境与教学目标是否具有关联性，情境与新知识之间能否建立有效联系. 无论创设怎样的情境，其首要功能是必须抽象或提取出数学问题，并为教学内容提供服务[3].

等差数列概念的本质是什么？不是用“青蛙的腿数”“哈雷彗星出现的年份”“智力闯关的关数”等童谣和科普知识得出数列的过程，而是通过对具体数列的观察与分析、比较与归纳得出的数列项之间的内在的数量关系和结构本质，透视出等差数列是一类刻画具有“匀速变化”递推规律的数学模型.

为此，我们大声呼吁：创设教学情境要有助于数学新概念的产生和发展，概念教学情境要能揭示数学对象的本质;勿让“无为”“无味”的情境拖累了数学概念教学！

2. 概念教学的设计要具有结构化与开放性

美国著名教育心理学家、学科结构课程专家布鲁纳指出：越有结构的知识，越接近学科本质;结构化的知识有助于记忆，有助于迁移. 我国著名心理学教授林崇德也指出：创造性学习是创造教育的一种形式，它强调学生的主动性，重视学习策略，讲究学习效率和方法，追求创造性活动的动机. 品味之，我们的解读是：开放性教学有利于学生创造性学习活动的进行，这正是开放性教学模式所體现出来的优势.结构化设计概念教学，教学过程就必须具有开放性.开放的数学概念课教学，有利于学生把新概念主动顺畅地纳入自己的认知系统，并对数学概念进行正向迁移、重组和重构.

概念教学设计要将相关问题结构化并设计适当的问题跨度. 高效的概念教学就是要舍得把问题放在概念的引入、形成及精致化阶段. 有研究表明，专家教师在概念的引入、形成阶段，精致化占整个过程的90%，而骨干教师在这一阶段则不到一半或一半稍多. 这说明，教师的专业发展要走向卓越，就必须使自己的概念教学设计具有结构化与开放性.

当然，结构化设计等差数列的教学，还必须把其纳入函数的体系当中，这应当是第二课时要完成的教学任务之一.

3. 概念教学过程必须有学生智力活动参与

概念课教学中培养与提升学生的数学核心素养，必须要有学生积极的智力活动参与，否则就是空谈. 基于问题的概念教学模式是引导学生主动参与课堂的重要策略之一，旨在以问题为载体，以思维为核心，更好地整合课堂，提高学生参与度，获得课堂生成的“粘稠度”.

数学概念课中学生智力活动的参与，主要有四个维度：发现——描述——应用——反思. （1）以问题为导向展开思考. 把发现问题作为思考的起点，分析问题的主要特征、构成要素、发展过程、联系方式、矛盾关系，由此展开的一系列思考会促使思考更加客观、冷静、深入. （2）描述问题的过程也是独立思考的过程. 很多问题在描述的过程中变得水落石出，解决问题的方法也会逐渐清晰，在描述问题的过程中也可能会发现更多、更有价值的思想和方法. （3）解决问题是概念的应用与重构阶段.应用过程要紧紧围绕概念来进行，突出数学概念在解决数学问题时的核心地位与“统摄”作用. 反思阶段比其他维度的智力活动要求都高. （4）没有反思，就没有提高. 在概念教学过程中，教师要通过有效示范，教会学生反思的方法，掌握需要反思的项目，逐渐养成反思的习惯.

再者，为了增强概念教学中学生智力活动的参与度，教学设计必须要配置递进渐深的“问题串”，通过逐一解决，有意识地教会学生根据学习的感受，提出自己的问题并加以解答.

“感人的歌声留给人的记忆是长远的.”有学生真正智力活动参与的概念课教学，带给学生的绝不仅仅只有知识和方法，还有思想、观念和文化，以及一些潜移默化的关键时刻能起的作用、终身受益的数学品质与数学素养.

4. 数学概念课教学的一般路径

数学概念教学一般包括：概念的建构、内涵外延的明确、概念的应用.数学概念教学设计需遵循“以问题结构推进教学”的原理，树立“教学生学会思考”的教学理念，提升概念学习与理解的质量[4]. 数学概念的获得方式主要有两种，一种是概念同化，另一种是概念形成.等差数列等一些本原性概念的教学，在强调探究、活动的教育背景下，选择概念形成是最好的教学方式.

核心素养视域下，数学概念课教学要以发展学生的思维能力和研究能力为导向，以培养学生的数学核心素养为行动指南. “用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”既是数学核心素养的表现形式，更是发展学生数学素养的基本路径.

数学概念课教学，其一般路径如图1所示：

结束语

体验、揭示知识发生、发展和形成的过程，帮助学生自主建构前后贯通的知识体系，促进学生思维能力的发展，培养学生的数学素养，是数学概念教学的核心任务. 概念教学是数学教学的主要形式和重中之重. 加强概念教学研究，改善数学教学品质，为学生的成长谋求最大利益，这是我们的责任，也是我们孜孜追求的教育理想.

参考文献：

[1]  人民教育出版社等编著. 普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修A版）[M]. 第2版. 北京：人民教育出版社，2007.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  李祎. 别被理念绑架教学[J]. 数学通报，2019（02）.

[4]  涂荣豹. 数学教学设计原理的构建[M]. 北京：科学出版社，2018.