渗透核心素养，巧解中考数学压轴题

摘 要：良好的数学核心素养，体现在学生能综合运用推理、抽象、分析等各种思维能力，活学活用数学知识，化解各类题型。而作为中考数学高分关键的“压轴题”，对学生核心素养提出了更高的要求。笔者以2019年福建中考压轴题为例，浅析其对核心素养的考察。

关键词：核心素养;中考;压轴题

数学核心素养是学生数学能力的深层次概括，不仅意味着学生能“活学”课堂知识，还能对其“活用”，通过综合运用推理、抽象、分析等各种思维能力，快速化解各类题型。而作为中考数学高分关键的“压轴题”，更是考验学生核心素养的一道“大菜”。笔者以2019年福建省数学中考试题第24题的几何压轴题为例，谈谈其对学生数学核心素养的考查要求。

（2019年福建中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF。

（1）求证：∠BAC=2∠DAC;

（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值。

分析：

1. 考查内容：圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形、相似三角形判定与性质，三角形的等面积等初中几何的许多方面，等腰三角形性质，特别是角的关系，在本题中发挥了相当关键的作用，所以我们老师在教学中复习等腰三角形的过程中一定要注意，不能让学生对等腰三角形的认识就是看到等腰只能想到等边对等角这样的程度，应该从勾股定理，全等，相似，面积等各个层面充分发掘其性质，并且配合好的题目进行训练，才能有效提高学生的几何解题能力。

2. 解题思路：问题（1）在考查两个角度的关系，但这两个角不在同一个三角形，所以我们需要去寻找过渡的角，把这两个角串起来。首先∠DAC根据同弧所对的圆周角相等转化成∠CBF，然后不难发现：是直角三角形，是等腰三角形，而且这两个三角形都包含∠ACB，假设∠ACB=，∠BAC=180°-2∠DAC=∠CBF=90°-，所以∠BAC=2∠DAC。

问题（2）求一个锐角三角形函数，那要在直角三角形中，没有直角三角形，可以构造垂线段等手段构造直角三角形，或者通过等角转换，转化到能够方便求三角函数的其他三角形当中去。本题是直接构造直角三角形，如图2，作⊥AB交AB于点H，则tan∠BAD=DHAH，接下来只要把DH和AH的长度算出来就可以解决问题了，但我们无法找到这两个线段和已知长度的线段之间的联系，主要原因我们对这个图形中的线段之间关系了解得太少。一般多数情况下，一道好的中考几何压轴题，第一问做出的结论或者方法应该能够给第二问的解决提供帮助，于是我们就把目光放到题目中还没用到的条件DF=DC，并结合问题（1）解题的过程，争取对整个图形的信息多了解一些，假设∠DAC，则∠CDA=∠BAC=2β。又因为DF=DC，所以∠CFD=∠CDF，所以CF=CB。题目又告诉我们BD⊥AC，根据等腰三角形的三线合一和垂直平行线的性质，可得AC=AB=AF=10。我们把线已知线段标上去，发现在RT和RT中，利用设元和勾股定理，可求得AE，CE，BE的长度。

设AE=a，则CE=10-a，102-a2=（45）2-（10-a）2，所以a=6，所以AE=6，CE=4，BE=8。再根据圆的内接四边形典型反X相似模型，三角形相似的比例性质，可得DE=AE·CEBE=3。最后求DH长度，给出两种方法，方法一利用等面积法，求出DH=BD·AEAB=335，再用勾股定理求出BH=445，AH=65，tan∠BAD=DHAH=112;方法二利用三角形函數，DH=BD·sin∠ABD=11×35=335，BH=BD·cos∠ABD=11×45=445，也可解得。

3. 考查思想方法：问题（1）通过直观想象，设元，数学推理来解决;问题（2）这一难题通过直观想象，数学运算，数学建模，数学推理，化归与转化思想、方程的思想，数形结合思想，设元法等数学思想方法得到了解决。

该题以圆的知识考察为基础，融入了对等腰三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数、垂直平分线、等面积等多个考点的测试;想要顺利地拿到该题得分，要求考生拥有较为完备的数学核心能力，能巧用建模、转化、方程、数形结合等思维概念。如果把数学核心素养比作一把利刃，那这类“烧脑题”就好比是磨刀石。因此初中教师必须充分利用数学课堂，引导学生真正消化和吸收数学知识，掌握数学技能，形成良好的核心素养，使他们在未来的学业里“披荆斩棘”，一往无前。

作者简介：

黄小萍，中学一级，福建省泉州市，泉州市第一中学。