培养“四种能力” 促核心素养落地——一次深港两地同课异构活动的启示

林日福

(深圳市龙华区教育科学研究院 518101)

当前，核心素养已是我国教育领域的研究热点，《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界．让学生通过学习后逐步形成正确的价值观念、必备品格和关键能力．[1]”笔者认为，数学核心素养既反映于学生在问题解决能力、应用能力、推理能力等方面得到发展，也反映于学生在评价交往能力得到发展．而且，培养与发展学生这四种能力，也是数学核心素养在课堂教学中得以落地的重要标志．

下面以深港两地教师执教“截一个几何体”这一教学内容为例，探析两地课堂教学的差异，并在此基础上探讨数学核心素养在课堂教学中落地的途径问题．

1 课例简录

1.1 香港课堂

活动一：拼图、画图

活动组织：全班学生共分成六个学习小组，每小组3—4人．

活动材料：每小组两块大小相同的底面为梯形的棱柱木块、两块大小相同的薄长方体木块、两块大小相同的厚长方体木块．

活动任务：自由选择一些木块，将其拼成一个新的几何体，并画出拼接处的截面图形．一位同学拼图，其他同学画图，然后同伴讨论检验所画图形是否正确．

活动过程：学生分组操作，教师低声指导．

活动展示：学生展示作品并解释．

引入截面的概念．

活动二：切截几何体

活动组织：在教室中央摆上一张长条桌子，当作演示台，全班学生以半圆形围坐在桌子周围，形成一个大的学习组．

活动材料：圆锥体、圆柱体、三棱柱、正三棱锥大木块各一个(如图1)，红色条形胶带若干．

图1

活动任务：将每个几何体通过切截两次，截成三个完全相同的几何体．

活动过程：(1)认识几何体；(2)学生自由到展示台前展示切截方法．(用红色胶带绑在几何体上，以示切截方法，如图2．)

图2

生1：我觉得第一个(圆锥)分得不是很好，上一个截面的圆与下一个截面的圆大小不一样．

师：是的，要注意虽然截面都是圆形，但得到的三个几何体却不是一样的．

生2：我觉得第二个(圆柱)及第三个(三棱柱)切截是正确的，所得到的三个部分是一样的．

生3：我觉得第四个(正三棱锥)分得不正确，和第一个(圆锥)一样，所得的截面大小不一样．

师：圆柱及三棱柱我们均已能正确切截了，先把它们拿掉．有哪位同学觉得自己可以做到将圆锥或正三棱锥进行三等分切截呢？

(两位学生分别展示，如图3、图4)

生4：图3、图4得到的截面是相同的，所以我觉得这样分是正确的．

图3

图4

图5

生5：在这两种分法中，中间的部分与两侧部分不同，所以我觉得不正确．

师：是的，截面相同不等于得到的几何体就一定相同．

(一位学生对图3进行修改，得图5)

生6：我认为这样分成四部分了，多于三部分，不符合要求．

师：还有更多的评论吗？

生7：我觉得通过切截两次，将圆锥或正三棱锥分成三个相同的部分是做不到的．

活动三：探索几何体截面的形状

活动组织：与“活动二”相同．

活动材料：圆锥体、圆柱体大木块各一个，如图6．

图6

活动任务：将这两个几何体切截，能否得到相同的截面．

活动过程：学生自由到台前演示切截方法．当得到的截面是特殊的多边形时，则进一步明确该多边形的形状．

活动四：课堂检测

全班学生坐成“秧田式”，独立完成测试题，教师当堂评价．

活动五：课堂小结

师：本节课我们在三等分圆锥体或正三棱锥时并不成功，那么是不是如生7所说，三等分圆锥体或正三棱锥是一件不可能的事呢？如果是，那么能将它们进行几等分呢？请大家课后再探索．

1.2 深圳课堂

活动一：认识几何体及截面的概念

教师利用投影，引导学生认识圆柱、球体等几何体，引入截面的概念．

活动二：探索圆柱体截面形状

活动组织：全班共分成8个小组，每小组4人围坐．

活动材料：每人一段圆柱体香肠、一把小刀．

活动任务：将圆柱体切截，观察截面的形状．

活动过程：(1)学生实验操作；(2)学生展示并解释截面形状及切截的方法；(3)教师播放视频展示截面的所有可能形状．

师：截面的形状分别有哪些？

生1：沿底面的直径位置垂直切截，可得长方形．

生2：横着切截，可得圆形．

师：横着切截是什么意思？

生2：沿着垂直于圆柱的高切截．

生3：斜着切截可得半椭圆形，如图7．

师：怎么得到的？

生3：从上底面开始，斜着切下去，不穿过下底面．

生4：沿着边缘上的一个点，斜着往下切，不穿过下底面，得到椭圆形，如图8．

生5：从上底面开始，向下底面切截，便得到一个梯形，如图9．

图7

图8

图9

生6：可能是梯形，也可能是长方形．

生7：不可能是梯形，截面有两条边是曲线，只能说它是近似梯形．

学生自发掌声．

活动三：探索正方体截面形状

活动组织：同上一活动．

活动材料：每人一块正方体小木块．

活动任务：思考将正方体切截后的截面形状，并将截面图形画下来．

活动过程：(1)学生独立探索、画图；(2)学生展示并解释截面形状及切截的方法；(3)教师播放视频展示不同的切截方法及截面形状．

生8：我得到的截面是五边形．

师：你的切面要经过正方体的几个面？为什么？

生8：因为切面每经过正方体的一个面，截面图形就增加一条边，经过正方体的五个面，得到五条边，所以是五边形．

生9：当切面经过正方体的六个面时，截面就是六边形．

生10：根据面与面相交形成线，切面每经过正方体的一个面，截面就增加一条边，切面经过正方体的几个面，截面就是几边形．

学生再次自发掌声．

活动四：练习巩固

课件展示习题，学生口答结果．

活动五：课堂小结

本节课有什么收获？我们还留下什么没解决的问题？

2 课例分析

2.1 教学观念

观念决定行动，教师的教学观决定教师的教育教学行为．此课里，香港的课堂更体现应用数学的数学教学观．如“活动一”里将截面的概念蕴含于操作实验活动中，“活动三”里将圆锥体、圆柱体截面的形状蕴含于切截几何体获得相同截面这个问题里．同时还重视将数学与学生的现实生活紧密联系，突破本课“探索几何体截面形状”这一教学内容的边界，如“活动二”的三等分几何体．深圳的课堂则更凸显理论数学的特点，课堂重点在于运用数学知识来解释生活中的现象、数学操作实验的结果，注重挖掘知识的深度．如在研究圆柱体及正方体的截面形状时，既探索截面的所有可能形状及切截方法，又重视讲道理、讲推理．

2.2 内容选择

我们知道，就数学课堂教学而言，教什么比怎么教更为重要．深圳此课分别着重研究了圆柱体及正方体这两种常见几何体的不同截面的形状，在此过程中，不仅让学生说出截面的形状，还说切截的方法，为学生积累数学知识、发展数学思维服务．香港此课既研究四棱柱、圆锥体、圆柱体、三棱柱、正三棱锥等几何体截面的形状，还研究如何将一个几何体(圆锥体、圆柱体、三棱柱、正三棱锥)进行三等分，将研究截面的形状及大小蕴含于“等分”几何体这个任务之中．在研究圆锥体及圆柱体的截面时，不仅研究截面的形状，还研究如何得到相同的截面，任务丰富且具有较强的挑战性，有效促进学生的深度学习，培养学生的创新思维．

2.3 活动组织

深圳此课的课堂组织形式从开始学生入座就已完全确定下来，课堂采用4人一小组两相面对的座位方式，教学演示台(讲台)固定在教室的前面．这种组织方式有利于教师更好的管理课堂，把握学生的课堂参与状态，提高课堂教学的效率．香港此课的课堂组织形式更灵活多变，开始时是分小组围坐，此时演示台在教室的前面．课堂中段，全班组成一大组，以半圆形围坐，此时演示台在半圆形的圆心(即教室的中央)位置．课堂末段，全班学生座位变成了“秧田式”，此时讲台在教室的前面．这种根据教学需要而变化的课堂组织形式，既有利于共享智慧，促进深度学习，也有利于学生独立解决问题能力的培养，还有利于同伴之间的交往．但这种多变的的课堂组织形式，有让课堂产生混乱的风险，所以香港的课堂一般都有助教帮忙．

2.4 资源运用

两节课都使用了多媒体课件、实验器材等教学资源．对于多媒体课件，香港此课主要用来展示截面的概念等陈述性知识．而深圳此课不仅用来展示概念，还用来播放视频，演示切截的过程及截面形状，验证结论．在实验器材上，香港此课主要使用了木块及胶带，除胶带外，所有的器材均可以重复利用．学生可以随时对操作(粘贴胶带的位置)进行修正而不影响实验的最终效果，操作较为安全，耗费也较低．但这需要学生有较强的空间想象能力，才能真正理解切截的方法及截面的形状．深圳的课堂使用了火腿肠、立方体木块及小刀等，除火腿肠外，其它器材均可以重复利用．虽然在用小刀切截火腿肠时，存在一定的安全隐患，以及当切截失败时，只能更换新的实验器材(火腿肠)，实验耗费相对较高，但学生参与切截的实验过程，有助于学生直观理解“截几何体”及“截面”等概念的涵义，以及圆柱、立方体等几何体截面的形状．

2.5 评价方式

两节课都重视运用师生评价、生生评价等评价方式．从课例中学生的表现可以看到，香港学生在评价同伴时，用语是“我觉得……”，“我认为……”，这是一种能促进人际交往的评价．教师为了鼓励学生参与，启发学生思维，用语较为丰富，如“是的，要注意……”，“还有更多的评论吗？”“是不是真的如生7所说，……”，等等．这些是一种能促进思维深度参与的积极性评价．深圳学生在课堂上对同伴表现出的评价，更多是“自发掌声”或直接发表不同结果的终结性评价，如“不可能是梯形，……”．教师为鼓励学生参与，启发学生思维，获得正确结果，主要用评价用语是“他的答案正确吗？”“结果应是……”，“还有不同的结果吗？”等．

3 教学思考

3.1 培养与发展学生的问题解决能力

数学教学要让学生“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力．[2]”这需要教师选择合适的教学内容，创设适合学生最近发展区的数学活动，鼓励他们亲身参与到操作、实验、观察、猜测、验证等活动中去，在做数学的过程中产生疑问，发现并提出问题，并通过自主探索、合作交流等学习活动，寻求解决问题的策略与方法，发展学生的问题解决能力．

就本课例而言，香港此课在环节二“三等分几何体”里，三等分三棱柱、圆柱体，这对学生来说难度不大，但如何三等分圆锥体、正三棱锥呢？对学生来说，这是一个具有极大挑战性的问题．学生多次尝试而无法顺利解答后，自然会生出疑问：是不是无法对它们进行三等分呢？生7形成猜想后，也会有同伴自然生疑：是真的做不到吗？如果做不到，那么可以将它们几等分呢？这样，学生的问题意识得到了发展，思维也得到了生长．在“活动三”这环节里，如何将圆锥体、圆柱体切截，使能得到相同的截面呢？这是一个符合学生最近发展区的问题．学生在思考解决问题的过程中，自然会产生出如下的新问题，如“它们的截面形状都有哪些可能呢？”“什么情况下截面形状是相同的呢？”“如何切截才能得到形状相同的截面呢？”等等．

3.2 培养与发展学生的应用能力

数学教学要让学生“了解数学的价值，体会数学与生活之间的联系．有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题．[2]”数学来源于生活，是对现实生活的抽象，同时，数学广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面．这种数学与现实生活的联系性，能让学生充分感受到学习数学是有现实价值的，也感受到学习数学是好玩的，提高了学习数学的兴趣．因而，将学生的数学学习与他们的现实生活建立起密切的联系，让学生在习得数学知识的过程中，也在运用数学解决现实生活中的问题，这对丰富、提高他们对数学价值的认识，具有重要意义．

可以看到，香港此课的“三等分几何体”活动，这是一个与现实生活有着紧密联系的问题，学生可运用现实生活的经验来探索解决此问题，也可将解决此问题的思想方法应用于现实生活的“等分问题”中．像这样将学生现实生活的经验与解决数学问题紧密联系起来，是培养与发展学生的数学应用意识与能力的有效策略．与此同时，学生在思考、讨论并多次尝试解答“三等分几何体”的问题的过程中，他们观察、分析切截后所得的部分是否相同，深入思考截面的形状，不仅获得了圆锥、正三棱锥截面形状的体验，还归纳得到“不能通过切截两次来三等分圆锥或正三棱锥”，发展了创新意识．

3.3 培养与发展学生的推理能力

《普通高中数学课程标准(2017年版)》将“逻辑推理”作为数学学科六个核心素养之一．逻辑推理包括从特殊到一般的归纳推理，以及从一般到特殊的演绎推理．“数学教育的主要价值，学习数学的最主要目的是培养人的思维能力，特别是逻辑思维能力，使学生善于思考，有独创精神．[3]”数学课堂教学不仅要让学生经历探索获得知识的过程，让学生分享获得知识的策略、方法，更要让学生运用已有的知识解释现象产生的原因，运用数学的逻辑方法推理结论的合理性，发展表达有理有据的推理能力．

可以看到，深圳此课在“活动二”及“活动三”里，学生不仅解释操作所得的截面形状及切截的过程，将截面形状画下来，还解释形成截面的原因，即运用“面与面相交得线”、“有几条交线就应得到几边形”等原理来讲推理，对得到的结论进行推理论证，这不仅发展了学生的直观想象能力，更培养了学生的逻辑推理能力，既让学生讲道理，也让学生讲推理，让学生的数学思维得到生长，使学生的理性思维品质得到提升．

3.4 培养与发展学生的评价交往能力

我们知道，评价的价值既体现于其能促进学生的数学思考与课堂的积极参与，促进学习的真正发生，也能促进学生的人际交往．课堂作为一个特殊的“小社会”，师生作为构成这个“小社会”中的主要成员，我们在组织学生探索获得数学知识、生长智慧的同时，还应促进师生的人际交往，即应帮助学生学会思考、学会交流、学会交往、学会学习．

正如前面分析，香港此课在教学评价上，学生同伴之间的商讨式交流，教师的激励性、启发性评价，以及当结论明确时，教师的终结性评价，有利于学生形成清晰明确的数学概念，也有利于帮助学生建立良好的人际关系．笔者认为，正是教师这种导师式的积极性评价，潜移默化的影响着学生的评价观念，进而帮助学生建立正确的人际交往观，发展共享意识，提高人际交往能力及评价能力，这对促进数学核心素养落地，极有意义．