初中数学教学难点的突破策略探析

【摘 要】统计与概率在初中教材出现的频率不高，加之大数据分析出来的考查几率和难度不大，因此统计与概率的相关内容一直以来没有得到师生的重视，通常被教师视为学生可通过自主学习掌握的内容。《课程标准》提出初中阶段要培养学生的数据分析观念。笔者认为，暂且不谈数据分析在生活中的应用，就现行人教版教材内容来看，其实有很多内容值得回味和思考，如何提炼其内涵以让统计引起学生的思考，是值得教师研究的课题。

【关键词】平均数;教学难点;突破策略

本文以《平均数》第二课时为例，探究初中数学教学难点的突破策略，表明初中数学教学中，在重视统计思想的同时，引入数学史亦可为课堂教学增彩。

1   深入研究教材，使树木森林现身

《平均数》出现在最新修订（2011年）的人教版教材第20章[1]。全章有两大节“数据的代表”和“数据的波动”，各五个课时。平均数是“数据的代表”中的第一节。其中《平均数》的第二课时，给出了两个例题，在数据重复出现的情况下，要求学生理解并计算加权平均数。

例1 一家公司打算招聘一名英文翻译。对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表1所示。

如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，则要计算两名应试者的平均成绩（百分制）。从他们的成绩看，应录取谁？

如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比例确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看应录取谁？

当数据有了不同的权重，权就会“影响”数据的作用。要用加权平均数进行计算，帮助人们进一步分析数据，从而给选择的结论提供必要的依据。当数据呈比例分配时，比例即权重。

例2 某跳水队为了了解运动员的年龄情况，做了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人。求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）。

跳水运动员的平均年龄，涉及数据出现的频数，频数为数据的权，求平均数即求加权平均数。

教学此节内容时，不仅要看到平均数是数据类型的重要一种，也要看到在用样本数据估算总体数据时，平均数发挥着极其重要的作用。而加权平均数作为其中一种有代表性的研究，会给分析数据带来巨大的价值。学习时要看到细节，更要看到整体，这样才能达成部分之和大于整体的功效，也便于让学生顺利内化吸收，达到教学难点的突破。

2   立足学情思考，用学科的眼光观察生活

对于八年级的学生来说，其在生活中对数据进行详实分析的机会不多[2]。因此在公交车载客量估算里，表格里给出的组中值其实并不容易理解，即使在旁批注釋了计算公式的来由。这一点倘若一笔带过，就如美国学者Bidwell指出的那样：“在课堂里，我们常常这样看待数学，好像我们是在一个孤岛上学习似的。我们每天一次去岛上学习数学，埋头钻进一个纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条而没有肮脏角落的书房。学生觉得数学是封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发现好了的。”学生最多记住要怎么算，而在迁移运用时又会出现同样的困惑，在认知上并未有实质上的突破。笔者尝试过去掉组中值，然而举一反三，估算最后的数据时，很多学生都不知所措。因此在面对教材上的例题时，要思考学生真正的理解难点，然后再思考解决策略。

笔者在带领学生认识组中值时，设计了这样的问题。

教师：表中按载客量的多少划分为六组，每一组的实际载客量是多少？

学生：我们不知道。

教师：那我们可以选哪个数据作为代表呢？

学生：平均数。（这一节我们正好学习平均数，应该相关。）

教师：我们可否选择这组数据最中间的那个数？（中位数在后续内容中才提出。）

学生：不可以。因为我们不知道每组的数据有多少个，无法确定最中间的那个数。

教师：那可否使用出现次数最多的那个数？

学生：也不行。同样道理，每组的数据总数不知道，那就也无法确定哪个数据出现的次数最多。

……

教师：大家很敏锐，思考方向也很正确。是的，这样的情况下，我们会选取每组数据两个极端值的平均数作为本组数据的代表参与计算。

在这里不妨花点时间，通过设计提问，层层引导，使学生自行思考，得到用范围内的极端值的平均数来作为小组的载客量的数据。这样犹如剥开蚌壳，取出珍珠的过程，会激起学生的思考，使学生得到自己的结论，获得成就感。

在教学中，教师要俯下身来体会和发现学生经验之外的盲点，要搭起脚手架让新知落入学生的最近发展区，从而完成链接。反复如此，学生会逐渐用数学的眼光观察生活的点滴，完成学科到生活，生活亦学科的完满教育理想（朱永新）。

3   史料引入课堂 有源之水流长

在帮助学生理解组中值时，笔者还翻阅历史，力求用古人的智慧启发学生，让学生深刻感受，数学思想源远

流长。如公元前400年，在伯罗奔尼撒人战争中，Homer为了解对方的兵力，进行了实地考察，发现对方运载士兵的船只共有1200条，这些船只大小不等，最大的船能容纳120名士兵，最小的船能容纳50名士兵，试估计对方的人数。

对比分析学生的算法，找出相应不足。再讨论最后一种平均数算法时，有学生得出估计值：大约有1200×（120+50）÷2个人。这正是当年Homer的估算方法。这里就是用两个极端值的平均数估计对方的总人数。然后再回到课堂例题里，学生之前心求通而未得的状态有明显缓解。弗赖登塔尔指出：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来;教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”此时再抛出问题，学生自然会想到用样本的平均数估算总体平均数。

M.克莱因说：“数学史是教学的指南。”引入史实材料时，不仅要让学生近距离感受古人的智慧，增强学习兴趣，同时要让学生意识到数学学科的精髓渗透久远，从而激发学生刻苦学习、努力超越的意识，正如张奠宙所说，“把数学教育转化为数学形态的教育”。

重视数据分析，无论是在学习数学上还是在指导生活上，都会给学生留下深刻影响。而精准分析学习难点，采取不同方式帮助其突破，则是数学教师义不容辞的责任。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准[S].北京师范大学出版社，2011.

[2]汪晓勤.一个中世纪法律问题的解决方案及数学教育价值[J].中学数学月刊，2020（1）.

【作者简介】

张敏（1972～），女，汉族，湖北枝江人，本科，中学数学二级教师。研究方向：数学教学。