基于自主学习要求的高等数学课堂构建实例

黄小杰 刘芝秀 吕凤姣

【摘 要】为适应科学技术的飞速发展，培养学生自主学习的能力和习惯已成为教学改革的主要目标之一，且自主学习亦是学习强国战略思想的具体表现形式之一。虽然数学是基础性的学科，但其知识和方法却不易掌握。因此数学教师在教学中应特别注意培养学生的自主学习能力，以使学生持续学习。本文以激发学生数学学习兴趣为出发点，基于自主学习要求构建了有关高等数学课堂教学的实例，以供自主学习教育教学理论研究。

【关键词】自主学习;高等数学;学习兴趣

自主学习是一种现代化的学习方式，与传统的定时、定点、定量的被动接受学习不同，自主学习强调以学生为学习主体，学习方式和过程由学生自己做主。事实证明，它更容易使学生得到知识与技能、方法与过程、情感与价值观等方面的综合改善和升华。自主学习是构建学生终身学习观的必然途径[1，2]，也是学习强国战略和思想的具体表现形式之一[3]。

当然，课堂教学是自主学习不可替代的。课堂教学在学生自主学习能力形成中能起到引领和关键性的作用，能为学生形成自主学习的能力和习惯打下坚实的基础。必须指出的是，在科学技术飞速发展的新形势下，职业转换和知识更新速度进一步加快，教师应更加努力地引导学生自主学习，只有具备自主学习能力和习惯的学生才能更好地适应时代的发展。在自主学习能力培养和形成过程中，有许多值得注意的地方，如学习兴趣、和谐融洽的师生关系、合理规划学习时间和任务等。其中，学习兴趣至关重要。正所谓兴趣是最好的老师，学生对学习内容感兴趣就会愿意学习，有利于形成融洽的师生关系，亦有利于自主学习时间和任务的安排。所以，笔者赞成在教学中，以兴趣培养为突破点，培养学生的自主学习能力。数学作为一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的抽象严谨的基础科学[4，5]，表述内容时常晦涩难懂，所以对于它的学习尤其要以兴趣为前提。

高等数学是高校众多的公共基础课程之一，但不少学生觉得高等数学课程枯燥乏味。这就无法保证教学质量，更谈不上培养学生的自主学习能力。为提高高等数学教学质量并达成教学目标，笔者已运用并积累了诸如图示教学、直观教學、类比教学、故事教学、悬念教学和试验教学等多种教学方法和技巧[6]，它们的要点均在于激发学生的数学兴趣，毕竟点燃兴趣可以提升数学课堂的教学质量和学生的自主学习能力已是一个不争的事实。

本文从实证角度，基于自主学习的要求，以激发学生学习兴趣为切入点，构建了一个高等数学课堂教学实例，对高等数学课堂教学中学生自主学习能力的培养进行了实践探究，以期为相关教育教学理论工作的研究提供素材。

1   高等数学教学实例

“数一数、加一加、画一画”是常见的幼儿教育内容，贴近生活，形象直观。而高等数学教学也可以此入手，通过以下方式让学生惊讶—好奇—求知—自学，并完成教师指定的自主学习任务和目标[7]。

1.1  数一数

提问1：自然数集是有理数（或分数）集的真子集。记自然数集为…，记有理数集，那么。让学生先观察这两个集合，从可以明显看出集合的元素个数大于其子集的元素个数。由此可引导学生思考：是不是有理数集的元素个数比自然数集的元素个数多呢？既然自然数集是有理数集的真子集，那么整体是不是一定比部分大？

讲解1：上述问题的答案是否定的，二者的元素个数是相等的。强调新思想方法，用一一对应判断两个集合的元素个数是否相等。事实上，如果两个集合的元素之间能够建立某种一一对应关系，那么这两个集合的元素个数就是相同的。

不直接证明自然数集和有理数集的元素个数是相同的。仅以正偶数集的元素个数和自然数集的元素个数是相同的为例，指出某些情况下整体可以和部分相同。

正偶数集为…，它是自然数集…的真子集，但是自然数集的元素个数并不比正偶数集的多，因为它们的元素之间有如下一一对应关系：……。所以，虽然正偶数集是自然数集的真子集，但是正偶数集和自然数集的元素个数是相同的。

事实上，有理数集和自然数集的元素个数也是相同的，即它们的元素之间存在某种一一对应关系：……。所以，“整体的个数比部分的个数多”，这一直观的结论对于有穷集合是对的，但对于无穷集合不再正确。

自主学习要求1：让学生自己构造自然数集和有理数集之间的一一对应，证明自然数集和有理数集的元素个数相等。

提问2：是否所有无穷集合的元素个数都相同？

讲解2：指明无穷集合的元素个数并不是都相同的，实数集和自然数集的元素个数就不相同。

自主学习要求2：让学生自己学习并证明自然数集和实数集之间无法建立一一对应关系，进而理解两集合的“个数”不同。

为激发学生兴趣，促进学生自主学习，教师可以继续下面的“加一加”“画一画”的教学内容。

1.2  加一加

提问3：无穷多个正数相加，越加越大，一直加下去，其和会不会比任意给定的数大？

讲解3：不一定，存在无穷多个正数，其和不会比任意给定的数大。如…。这个无穷多个正数相加的和只等于1。直观解释：取一张纸的一半是;再取一半的一半是;依此类推，正好取完整张纸。

1.3  画一画

提问4：有理数在实数轴上是稠密的，直观看是密密麻麻地分布在整个实数轴上。以每个有理点为中心，画一个括号，做个区间，如下图。

引导学生思考：对每个有理点都做一个区间，所有这些区间并在一起是否会覆盖整个实数轴？

讲解4：直观上看有理数稠密、密密麻麻地布满整个实数轴，每个有理点有一个区间盖住，这些区间合起来似乎也会把整个实数轴覆盖住，但这是错误的。

用刚才讲的“数一数”和“加一加”的内容证明这个直观看法不对。即要证明存在一种区间的取法，使得所有“以有理点为中心的区间”并起来也不能够盖住整个实数轴。先把所有的有理点列出来，正如上文提到的，它们和自然数之间存在一一对应关系，所以可以像自然数一样一一列出来…。再分别以每个有理点为中心做如下区间…，区间的长度分别为…，这些区间的长度加起来为…，而整个实数轴的长度却无穷大。所以，虽然它们已经盖住了所有的有理数点，但即使把所有这些区间并起来也不可能盖住整个实数轴。

总之，以上教学内容对学生的固有思维造成了很大冲击，引发了学生的学习兴趣。在此课后的一周，几乎所有学生都自发学习并明白了自然数集和有理数集是一一对应的关系，也明白了并不是所有无穷集都是一一对应的，还知道了稠密开子集的概念和基本性质。该课取得了较好的引导学生自主学习的效果。当然，以上教学实例难免有不妥之处，希望能抛砖引玉，为自主学习能力培养的教育教学理论研究提供素材。

【参考文献】

[1]庞维国.论学生的自主学习[J].华东师范大学学报（教育科学版），2001（2）.

[2]庞维国.90年代以来国外自主学习研究的若干进展[J].心理学动态，2000（4）.

[3]陈思博.辽阳市自然资源局掀“学习强国”热潮[J].国土资源，2019（3）.

[4]张顺燕.数学的思想、方法和应用：文科类高等数学[M].北京：北京大学出版社，1997.

[5]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融人高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003（8）.

[6]萧树铁.高等数学改革研究报告[J].数学通报，2002（9）.

[7]李忠，周建莹.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2004.

【作者简介】

黄小杰（1983～），男，汉，江西南昌人，讲师，博士研究生。研究方向：数学及其教育。

刘芝秀（1982～），女，汉，四川荣县人，讲师，硕士研究生。研究方向：数学及其教育。

吕凤姣（1983～），女，汉，河南商丘人，副教授，硕士研究生。研究方向：数学及其教育。