奇妙的微积分

【摘 要】微积分中有很多奇妙的现象，有些未定式的极限值非常神奇，有些看似无限的面积却是有限的，函数能表示成无穷多项式的和函数定理，求不规则图形的面积都可以将其分割转化为规则的图形。在奇妙的微积分里，有限和无限、不规则变化和规则变化是辩证统一的。

【关键词】极限;导数;麦克劳林公式;广义积分;定积分

微积分是研究变数的科学，微积分中有很多辩证法，通过极限、导数、微分、积分，可使变与不变、有限与无限、部分与整体的矛盾很好地统一起来。

1   神奇的无理数与奇妙的极限

无理数与无理数一样，在数学领域里扮演着重要的角色，到处都有它的身影。它出现在欧拉公式里，该公式将数学里最重要的几个数字、、、1、0联系到了一起。自然对数里，以为底数，许多式子都能通过它得到简化，因为它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。的影响力其实还不限于数学领域，经济领域中的复利计算，大自然中的太阳花种子排列、鹦鹉螺殼上的花纹都呈现出黄金螺旋线（又叫斐波那契螺旋线）的形状，而螺线的方程式是用定义的。黄金分割的分形结构（黄金矩形）要用到，甚至建构音阶也要用到。如果把一条链子两端固定，松松垂下，将其呈现的形状用数学式子表示时也需要用到。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究当趋近于无穷大时的极限。不管趋向于正无穷还是负无穷，结果都趋向于一个常数=2.71828……。

2  “无限延伸”的图形与有限的面积

在人们的认知里，封闭图形的面积是有限的，无限延伸的、开口的图形的面积应该是无限的。实际上并非一定如此。可以借助极限计算并判断无限延伸图形的面积是有限的还是无限的。

3   奇妙的麦克劳林公式

4   神奇的定积分与不规则平面图形的面积

定积分的定义里包含着微元分割转化法，就是把不规则的曲边梯形通过无限分割转化为无数细小的小矩形，再把无数的小矩形面积相加求极限，使误差趋于0，最终得到定积分。因此定积分就是不规则曲边梯形的面积，即由四条曲线轴围成的平面图形的面积（）。根据微元法，可以求任何不规则平面图形的面积。

用定积分计算任何不规则图形的面积，在很多领域有着广泛的应用，能使求任意平面图形面积的问题变得非常简单。

微积分的本质及核心思想为八个字：“以直代曲，无限逼近”。大意就是：弯弯曲曲不规则的东西，很难量化计算，如果把它化为规则简单的东西，再量化计算就很容易。如果一条线足够小，那么可以认为无数条线可以组成任何东西，这虽然不是完美等价，但无限逼近可以让复杂世界变得无限简单和完美。

【参考文献】

[1]王丽伟.《奇妙的微积分世界》课程双语教学的实践与思考[J].知识文库，2017.

【作者简介】

应惠芬（1969～），女，汉族，浙江仙居人，硕士，副教授。研究方向：学科教学（数学）。