一类具有非单调传染率的随机SIQR传染病模型的动力学分析

马苓涓，张太雷，李志民

(长安大学理学院，陕西 西安 710064)

传染病的流行与爆发，是当今人类社会面临的重大挑战之一。在人类文明史上，传染病曾经带来过巨大的灾难。在近现代，也给人类生命和财产造成了无可挽回的损失[1]。为了更好地预防和控制传染病，学者们通过建立数学模型对传染病进行研究。

目前研究表明，有些传染病，需要对感染疾病的个体进行隔离治疗，因此具有隔离策略的传染病模型受到广泛关注。Joshi等[2]分析了一个饱和发病率与检疫隔离相结合的SIQR传染病模型，给出了模型的阈值，平衡点的存在性及其稳定性。在文献[3-5]中，作者研究了具有非线性传染率的SIQ传染病模型，并证明了无病平衡点和地方病平衡点是全局稳定的。另一方面，学者也研究了具有随机扰动的传染病模型。Yang等[7]考虑了随机SIR及SEIR传染病模型解的全局正性，并得到了关于相应的确定性系统的无病平衡点及地方病平衡点的渐近行为。武丽凤等[8]研究了具有比率依赖的食饵-捕食随机模型，分析了系统趋于灭绝及平均持久的条件。因此，从上述研究中可以看出，具有隔离策略的随机传染病模型是一个仍要解决的问题。

May[10]曾指出：当考虑到环境的噪音时，模型的参数将会展现出随机扰动。在文献[6-7,9]的基础上，我们建立以下一类随机SIQR传染病模型：

(1)

上式模型(1)对应的确定性模型如下：

(2)

本文研究内容安排如下：第一节，给出随机模型(1)正解的全局存在唯一性。第二节，讨论随机模型(1)的解在无病平衡点的扰动行为。第三节，研究疾病的灭绝性。第四节，给出随机模型(1)的解在地方病平衡点存在唯一的平稳分布的充分条件。第五节，数值模拟显示了模型的动力学形态。最后，对文章进行了总结。

1 全局正解的存在唯一性

首先，我们需要给出模型的适定性，本节通过构造适当的Liapunov函数并利用停时理论来证明随机模型(1)正解的全局存在唯一性。

τn=inf{t∈[(0,τe):S(t)≥n;I(t)≥n;Q(t)≥n;R(t)≥n}

定义以下Liapunov函数

V(S,I,Q,R)=S+I+Q+R

由伊藤公式[11]得

dV(S,I,Q,R)=LVdt+σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)+σ3QdB3(t)+σ4RdB4(t)≤
Adt+σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)+σ3QdB3(t)+σ4RdB4(t)

(3)

其中

LV(S,I,Q,R)=A-dS-(d+p1)I-(d+p2)Q-dR

对于任意的n≥n0，存在常数T≥0使得τn∈(0,τn∧T)。现对(3)两端从0到τn∧T积分并求期望可得

EV(S(τn∧T),I(τn∧T),Q(τn∧T),R(τn∧T))≤V(S(0),I(0),Q(0),R(0))+AT

这就说明在[0,∞)内(S(t),I(t),Q(t),R(t))以概率1在有限时间内不会产生爆破。

2 无病平衡点E0的渐近行为

其中

证明定义如下的Liapunov函数：

V(S,I,Q,R)=V1+c1V2+V3+c2V4+c3V5

(4)

其中

(5)

根据伊藤公式得

(6)

由式(4)～式(6)可得

其中

r+δ+2d+p1-c1k=0，c1(r+δ+d+p1)(1-R0)-c2δ-c3r=0，c2(ε+d+p2)-c3ε=0

则有

由上式可以得出

(7)

对式(7)两端从0到t积分并求期望得

上式两端同时除以t，再令t→∞可得

证毕。

根据定理2知，在满足某些条件下，证明了随机模型(1)的解将在确定性模型(2)的无病平衡点E0附近振荡，并且扰动强度与σi(i=1,2,3,4,5)有关。

3 随机灭绝性

在传染病模型中，更关心的是在什么情况下疾病会灭绝，本节指出当外界干扰强度较大时能导致疾病灭绝，即大噪声能导致疾病灭绝。

(8)

更多的有

(9)

和

(10)

证明由模型(1)可以得到

d(S+I+Q+R)=[A-d(S+I+Q+R)-p1I-p2Q]dt+σ1SdB1+σ2IdB2+σ3QdB3+σ4RdB4

(11)

对式(11)两端分别从0到t积分得

(12)

其中

令

于是

(13)

由鞅的强大数定律[11]和式(13)得

由(8)可得

其中

这里

b=ε(δ+r+d+p1)，c=(ε+d+p2)(r+d+δ+p1)

证明令W(t)=aI(t)+bQ(t)+cR(t)，利用伊藤公式得

(14)

即推出

(15)

另一方面，有(11)可以得到

相当于

(16)

其中

由式(9)和式(10)得

(17)

更多地由式(15)，式(16)和式(17)可以得到

证毕。

4 地方病平衡点E*的附近的平稳分布

引理5[13]Markov过程X(t)存在遍历的平稳分布π(·)。如果存在具有正则边界∂U的有界集合U⊂Rd满足如下性质：

A1：存在邻域U及其某邻域，扩散矩阵A(x)的最小特征值是非零的；

bi>0(i=1,2,3,4)，B

成立，则模型(1)存在遍历的平稳分布[16]。

其中

证明为了证明定理6，我们需要满足引理5中的条件A1和A2，接下来，先证明A1。当R0>1时，模型(2)存在唯一的地方性平衡点E*=(S*,I,*Q*,R*)，且满足

则模型(1)在地方病平衡点(S*,I*,Q*,R*)的扩散矩阵为

条件A1已经满足.接下来证明条件A2，定义Liapunov函数

(18)

其中

(19)

根据伊藤公式以及2ab≤a2+b2得

(20)

由式(18)～式(20)得

LV≤-b1(S-S*)2-b2(I-I*)2-b3(Q-Q*)2-b4(R-R*)2+B

因此，椭球

b1(S-S*)2+b2(I-I*)2+b3(Q-Q*)2+b4(R-R*)2=B

LV(S,I,Q,R)<0

证毕。

因此，引理5的条件已经满足，我们也可以得到模型(2)的正解在地方病平衡点E*附近存在一个遍历平稳分布。

5 数值模拟

本节我们利用计算机模拟出确定性模型和随机模型中染病者的曲线，来说明噪声对确定性模型的影响。

(1)选取初值(S(0),I(0),Q(0),R(0))=(0.5,0.2,0.1,0.1)，参数：A=0.5，k=0.3，d=0.2，α=0.2，r=0.3，δ=0.3，p1=0.3，ε=0.2，p2=0.25，σ1=0.8，σ2=0.5，σ3=0.5，σ4=0.5，σ5=0.6，此时R0=0.7467<1，并且满足定理2的条件，则模拟结果如图1所示。由图可知，当随机干扰的强度较大时，系统(1)的解总是在无病平衡点处振动，这表明疾病会消亡。

(2)选取初值(S(0),I(0),Q(0),R(0))=(2,1.8,1.3,1.2)，参数：A=2.5，k=0.4，d=0.3，α=0.1，r=0.2，δ=0.2，p1=0.3，ε=0.2，p2=0.2，σ1=0.01，σ2=0.01，σ3=0.01，σ4=0.01，σ5=0.01，此时R0=3.333 3>1，并且满足定理6的条件，则数值模拟如图2所示。由图可知，当随机干扰的强度较小时，系统(1)的正解在地方病平衡点存在一个平稳分布，这表明疾病会一直存在。

6 结论

由于现实世界中的大多数问题都是不确定性的，将随机效应引入到模型(2)中，为传染病模型的建模提供了一种更为现实的方法。

我们的工作为随机微分方程为传染病动力学建模提供了另一种见解，它显示了对这个特殊问题的不同看法。特别地，我们得到了随机系统的遍历性。因此，接下来可以进一步考虑随机系统的稳定性。