一类非线性系统平稳周期稳定解分析

余平洋

(开封大学信息工程学院，河南 开封 475004)

一类非线性系统可以很好的描述应用数学、物理学和力学中的许多控制问题，随着控制理论技术的发展，需要通过稳定性的非线性系统控制，结合模糊自适应控制算法[1]，通过高次方程的优化求解，与其它专家系统项结合，推动人工智能和信息化技术的发展。一类由对合Cauchy-Hadamard型微分方程构成的非线性系统在实现计算智能和人工智能中具有较高的应用价值[2-3]，通过研究非线性系统的平稳周期稳定解，构建稳定性的非线性控制模型，分析具有平稳周期稳定解的收敛性和稳定性条件，为智能控制提供数学理论基础。

1 一类非线性系统微分方程分析

采用对合Cauchy-Hadamard型微分方程进行一类非线性系统拟合和泛函性分析[4]，非线性对合Cauchy-Hadamard型微分控制方程定义为：

(1)

其中u:I×IRd→IR是是灰色离散性微分边界函数，d≥4，0∈I⊂IR是边界方程的离散域区间。讨论对合Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡点的稳定性，设：

(2)

则映射u|→uλ将Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡点的一个解映射为(1)的另一个解，在方程的边界性约束条件下，满足：

(3)

(4)

微分方程的解具有对合性特征，当sc>1(即d≥4)时，sc满足双边界函数条件。

u(t)=w(t)(u0,u1)+

(5)

其中，F(u)=|u|4u。

定义微分方程正多解f:→R的α>0阶的Laplace时空分叉微分为：

(6)

若α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1) 采用Bochner-Riesz矩阵进行紧时间区间的变分结构分解，满足约束变量：

(7)

构建Lyapunov泛函：

(8)

约束条件为ck=-c-k，若取q=4，b2=b-2=1,b1=b-1=2,b0=0，对任意的Bernoulli空间中的对合Cauchy-Hadamard型微分方程非线性系统，存在唯一的格林正多解：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N

(9)

其中：N为随机稳定凸时间序列的长度，取值要求为大于或等于α的整数。

如果稳定点u∈C(0,1)∩L(0,1)，α>0，并且强尼凸函数的微分边界条件满足：

(10)

那么：

(11)

其中：ci∈R,i=1,2…N。

2 平稳周期稳定解微分逼近分析

在采用对合Cauchy-Hadamard型微分方程进行一类非线性系统的拟合和建模的基础上，在齐次Sobolev空间中采用能量超临界波动的广义伪随机特征分析方法进行非线性系统平稳周期稳定解的微分逼近[6]。

设I是紧时间区间，u:I×IRd→IR是下面波动方程

(12)

对合Cauchy-Hadamard型微分方程的二阶矩波动算子为w(t)(u0,u1)=cos(t||)它表示的是平衡性边界条件下线性波动条件为(u0,u1)时的平稳周期稳定解。在能量临界情况下，采用灰色离散性边界约束，判断平衡点的Riesz基函数utt-Δu+|u|pu=0,(p>4)在IR3的规范正交基[7]，采用逐次逼近法求解Bergmann核，得到该类非线性系统在0<η≤η0紧时间区间内的连续函数为：

(13)

(14)

记IRd上的二次有理逼近函数为：

(15)

对s≥0,平稳周期稳定解的微分的Sobolev空间定义为：

(16)

时空范数定义为:

(17)

设R(t)为实概率空间(Ω,F,f(x),P)中的有理积分，在正交空间I×IRd上的时空范数满足如下边值条件

(18)

其中：

h:Rn×Rn×S

δ(t):[0,T]→R

v(dt,du)=v(dt,du)-π(du)dt

(19)

对合Cauchy-Hadamard型微分方程有周期性稳定解凸优化条件组合描述为：

(ⅰ)C([a,b],R)为[a,b]在R中的连续函数，且满足：

-τ<δ(t)

(20)

(ⅱ)初始值空间内C([a,b],R)有上下边界，且：

E|ζ(t)-ζ(s)|2

(21)

(ⅲ)在线性凸函数条件下，存在离散偏移状态微分方程，满足：

(22)

其中，∀x1,x2,y1,y2∈R，通过微分逼近，对合Cauchy-Hadamard型微分方程非线性系统的稳定周期解的样本轨迹{r,k=0,1,2,…}满足增长条件：

(23)

同理，∀x1,x2,y1,y2∈R，为了实现对Cauchy-Hadamard型微分方程平稳周期稳定解的微分逼近，引入下面著名的Sobolev不等式。

3 实验结果分析

为了进一步验证改进的稳定性分析法在一类非线性系统中的有效性及可行性，进行仿真验证分析。

在马尔尼数链中采用五次波动方程进行平稳周期稳定解的Lyapunove泛函，可以得到：

(26)

(27)

在稳定凸函数控制下的非线性系统平稳周期稳定解的离散近似解为：

(28)

其中ΔB=B(tn-1)+B(t1);I[u]为马尔尼数链实整数，通过二阶矩控制进行对合Cauchy-Hadamard型非线性微分方程的二阶矩求导，得到

Z(t)=∑Ixy(t)X(kΔ)=

∑Ixy(t)X((kΔ)[δ(k)])

(29)

R(t)=∑∑Ixy(t)X(kΔ)rt

(30)

在非确定条件对合Cauchy-Hadamard型非线性系统的非线性平稳周期稳定解的最终近似解为：

(31)

求得具有平稳周期稳定解的收敛性条件，在马尔尼数链中采用五次波动方程进行平稳周期稳定解的Lyapunove泛函，得到：

(32)

由于f(x)是对合Cauchy-Hadamard型非线性系统的稳定凸函数，所以：

(33)

进而得：

(34)

求得具有平稳周期稳定解的收敛性条件，最后进行了平稳周期解的稳定性和渐进收敛性证明。

通过以上以计算得到稳定凸函数确定下，对应的E[·]，从而利用仿真验证法绘制出1/E[·]，如图1所示：

4 结束语

本文分析一类由对合Cauchy-Hadamard型微分方程构成的非线性系统的平稳周期稳定解，采用对合Cauchy-Hadamard型非线性方程进行非线性系统的模型构建，在马尔尼数链中采用五次波动方程进行平稳周期稳定解的Lyapunove泛函，求得具有平稳周期稳定解的收敛性条件，并进行稳定性实验分析，分析结果对提高非线性控制系统的参数自整定性和控制稳定性具有数学理论基础意义，在稳定性控制中能有效满足需求，具有较高的应用价值。