具有五个相异素因子的某些奇正整数的刻画

张四保

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

设N是正整数，σ(N)表示N的所有正因子的和函数。对于一个完全数N有σ(N)=2N。到目前为止只找到51个梅森素数[1]，由梅森素数与偶完全数的特殊关系，从而也就确定了51个偶完全数，而尚未解决奇完全数存在性的问题。似乎由于在推翻奇完全数存在性这一问题上屡战屡败，众多学者转而定义了许多与之密切相关的概念，提出了大量的问题[2]。若σ(N)>2N，则N称为盈数；若σ(N)<2N，则N称为亏数；若σ(N)=2N+d，则N称为盈度为d的盈完全数，当d=1时，N称为准完全数；若σ(N)=2N-d，则N称为亏度为d的亏完全数，当d=1时，N称为殆完全数，以上d都是N的一个正真因子。对于以上概念的相关研究，可参考文献[3-8]。

对于奇亏完全数，在文献[8]中刻画了满足ω(N)≤2的所有亏完全数N的结构，其中ω(N)表示为N的相异素因子个数函数；在文献[9-10]中给出了结论：不存在亏完全数N，其中N满足ω(N)=3；在文献[11-12]中给出了亏完全数N的一些性质刻画，其中N满足ω(N)=4。本文将通过初等方法来讨论具有五个相异素因子的亏完全数的存在性问题。

1 结论及其证明

(1)

证明若q3≥41，则

得出矛盾，则q5=43或者q5=47。

若d′≥9，则

得出矛盾。

(2)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

则由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(3)

当q5=43，β1≥6时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(3)式相矛盾。

当q5=47，β1≥6时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(3)式相矛盾。定理2证毕。

得出矛盾，则q5=41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

(4)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

则由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(5)

当β1≥4，q5=41时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=43时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=47时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=53时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=59时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=61时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥4，q5=67时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥6，q5=71时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥6，q5=73时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥6，q5=79时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥6，q5=83时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥6，q5=89时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。

当β1≥8，q5=97时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(5)式相矛盾。定理3证毕。

得出矛盾，则q5=17或者q5=19或者q5=23。

(6)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

则由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(7)

这显然是不成立的。

当q5=17，β1≥4时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(7)式相矛盾。

当q5=19，β1≥4时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(7)式相矛盾。

当q5=23，β1≥4时，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

这与(7)式相矛盾。定理4证毕。

2 结语

对于定理2，定理3只是讨论了定理1中q1=3时q2≤31中的两个具体的情况，而定理4讨论了定理1中的当q1=5的全部可能。如若将定理1中q1=3时q2≤31中的其他情况通过本文的讨论方式给出相应的性质或结论，这将有助于解决是否具有五个相异素因子的奇亏完全数的问题。