在“综合与实践”活动中学习公式——以“完全平方公式”的教学为例

■杭秉全

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。课标提倡把这种教学形式体现在日常的教学活动中。教师设置恰当的问题，让学生在“综合与实践”活动中学习公式，能极大地调动他们学习的自主性。学生经历公式的“自主发现——全面认识——加深理解——深化拓展”的认知全过程，避免将公式简化为“记忆+套用”。

2019年3月，笔者应邀在“第五届江苏省初中数学名师精品课堂观摩与研讨活动”中执教了一节观摩课，课题为七年级下册“9.4乘法公式（第一课时）——完全平方公式”。在这节公式课的教学中，笔者设计了“综合与实践”活动，让学生在实践活动中，自主发现公式；在多元联系中，全面认识公式；在变式应用中，加深理解公式；在小结反思中，深化拓展公式。学生自主参与、充分经历了完全平方公式认知的全过程，收获了非常好的教学效果。现以这节课的教学为例，与各位同仁交流如何让学生在“综合与实践”活动中学习公式。

一、在实践活动中，自主发现公式

公式得出的过程，不应是教师的“自导自演”，更不能是教师直接“抛授”，而应是在教师引导下，学生自主发现。如此这般，才能让学生在发现公式的过程中，了解公式产生的背景，提升数学归纳认知的能力，丰富数学探究活动经验。要使学生在公式学习中，自主发现公式，教师可以组织发现公式的实践活动。

在完全平方公式的教学中，笔者组织以下3项实践活动，让学生自主发现完全平方公式。

活动1 回忆多项式乘多项式的运算法则。

活动2 计算：

（1）（x+1）（y+2）=_________；

（2）（a+1）2=（a+1）（a+1）=________；

（3）（a+b）2= ________。

活动3 比一比，赛一赛，看谁算得又准又快！

（1）（x+y）2=_______；（2）（b+d）2= ______；

（3）（m+n）2= ______；（4）（s+t）2=_______。

完全平方公式属于特殊的多项式乘多项式，所以活动1的设计是为学生自主探索发现完全平方公式奠定知识基础。活动2的设计遵循从特殊到一般的原则，设置了3个计算，它们不只是多项式乘多项式的巩固练习，其设置的目的是让“每一个学生”通过自己的计算实践操作得到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2。此时学生还没有把它看成公式，只限于它是特殊的多项式乘多项式，运用多项式乘多项式运算法则计算不难得出结果。虽然简单，但直达本质；虽然重复，但能引起学生重视。活动3设计了4个简单的计算，它们是“计算（a+b）2”的简单重复变式。在活动3的比赛中，符号认知意识强的学生，能发现（1）中的 x、y，（2）中的 b、d，（3）中的m、n，（4）中的s、t均分别相当于活动2计算（3）中的a、b，套用活动2计算（3）的结果，可直接写出各小题的答案；其他学生，通过运用多项式乘多项式运算法则计算，也可得出结果。之后组织一个算法交流，会收到“让一部分先富起来的人，带动其他人共同富裕”的效果，实现学生分层自主发现把（a+b）2=a2+2ab+b2当作公式，活动3中的几个计算套用这个公式，能快捷地得出结果。

二、在多元联系中，全面认识公式

“多元联系表示”是促进学生掌握数学原理的有效教学策略。“多元联系表示”策略，其实质是利用数学对象（数学的概念、法则、表达式、定理、定义等）表现形式的多样性，对同一数学对象给出多种不同表示，从而使学生接触数学对象的不同方面特征，沟通联系，促进理解。公式的教学需要教师设置恰当的“问题”，引导学生思考如何用图表、文字或符号等方式表示公式。学生在对公式的多元表征、多元联系中，实现对公式的全面认识。

在完全平方公式的教学中，教师可以在学生自主发现完全平方公式的基础上，围绕下面3个问题，开展“综合与实践”活动，让学生全面认识完全平方公式。

问题1 这个公式有何结构特点？如何用文字语言描述？

问题2 你能设计一个图形说明这个公式吗？

问题3 完全平方公式与多项式乘多项式有何关系？

问题1是从完全平方公式符号语言表示出发，分析其结构特征，进而用文字语言对公式加以表述。在此基础上，教师可以向学生介绍《几何原本》中关于完全平方公式的表述：如果两分任意一个线段，则在整个线段上的正方形等于各个小线段上正方形的和加上由两小线段构成的矩形的二倍。这样，在换个角度认识完全平方公式的同时，还实现了数学文化的浸润。问题2是在公式的符号语言、文字语言表述的基础上，探索公式的图形语言表述。这对学生有一定的挑战性，可引导、启发学生联想多项式乘多项式运算法则的图形表述。问题3能让学生认识到：将多项式乘多项式（a+b）（c+d）中的c、d分别特殊化为a、b，多项式（a+b）（c+d）就变为（a+b）2。符号语言表述如此，图形语言表述亦然。将表述多项式乘多项式运算法则的图1中的c、d分别特殊化为a、b，就得到表述完全平方公式的图2。这样，学生在数形结合中，在变化的眼光下，在特殊与一般的联系中，对完全平方公式有了一个全面的认识。

三、在变式应用中，加深理解公式

一个基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重复。重复经过变式而得到发展。变式是适合规则的情境变化。只有在变化的情境中应用习得的规则，学生才能深刻理解习得的规则。因此，在数学原理的教学中，变式是促进学生理解的重要手段，可以达到增加理解原理的角度和途径，增加理解活动的层次性的目的。学生要达到对公式的真正把握并能灵活运用，达到深刻理解的水平，需要有变式训练、应用公式的机会。

在完全平方公式的教学中，笔者在学生全面认识完全平方公式的基础上，开展下面3个变式应用活动，让学生对完全平方公式的理解更深刻。

活动1 试一试。

能直接说出下列算式的结果吗？你是如何算的？

（1）（x+3）2=______；（2）（m+2n）2=______。

活动2 议一议。

改变（a+b）2中a、b前的符号会有哪些情况？它们分别如何计算？

活动3 想一想。

如何计算（a+b+c）2？

活动1是直接套用公式，在套用中进一步熟悉公式的结构特点。活动2用问题“改变（a+b）2中a、b前的符号会有哪些情况”引出（a+b）2的三种变式：（a-b）2、（-a+b）2、（-a-b）2。在对这些变式如何计算的讨论和交流中，让学生认识到：这些变式都是特殊的多项式乘多项式，可运用多项式乘多项式的法则进行计算；这些变式都可看成是两数和的平方，可运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行计算；后面两个变式都可运用符号法则，转化为两数和的平方或两数差的平方。进而，让学生感悟到把（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2都作为公式，会给计算带来很大的方便。从而，确立（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2这两个公式为完全平方公式。活动3对“如何计算（a+bc）2”的思考、交流，可让学生认识到：这个变式也是特殊的多项式乘多项式，可运用多项式乘多项式的法则进行计算；可运用整体思想，把它变形为应用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行计算；还可以参照完全平方公式的图形表述，构图（如图3）分析得出结果。从活动1的系数变式，到活动2的符号变式，再到活动3的底数项数变式，层层递进。学生在直接套用、转化应用、整体思维、数形结合的进程中，逐步加深对完全平方公式的理解。

四、在小结反思中，深化拓展公式

每节课都要有个小结反思的过程，学生在小结中梳理知识，并把新学知识概括到已有的认知结构中去，形成纵横联系、更加稳固的知识网；学生在反思中挖掘知识中所蕴含的思想方法，提炼知识探究中所运用的思维策略，拓展可继续深入研究的方向。公式的学习不应止步于认识公式、理解公式、运用公式，学生在小结反思中，深化拓展公式，使公式应用价值之外的数学思想方法、思维价值凸显出来。

在完全平方公式的教学中，笔者在学生发现、认识、理解完全平方公式的基础上，围绕下面3个问题，组织学生进行课堂小结反思活动，让学生对完全平方公式的认识有进一步的深化和拓展。

问题1你对完全平方公式有何认识？

问题2今天的学习，你感悟到了哪些数学思想方法？

问题3你能提出一些值得继续研究的问题吗？

问题1是一个具有开放性和弹性的问题。在回顾反思一节课的学习中，每个学生都可以或多或少、或深或浅地谈出自己对完全平方公式的认识。认识可以是完全平方公式的符号语言、文字语言、图形语言的多元表征，也可以是完全平方公式与之前学习的多项式乘多项式运算之间的联系，还可以是作为公式在相关计算中的价值，等等。学生在“谈认识”的任务驱动下，实现对课堂学习的回顾、梳理与反思。问题2直接指向数学思想方法的挖掘。问题3指向的是数学研究的思维策略。研究方向寻找的背后支撑是特殊化、类比、一般化的逻辑思考方法。结合本节课的学习，继续研究的方向可以是由“类比”思维联想到的：对“还有哪些特殊的多项式乘多项式，值得确立为公式，让计算更方便”的研究。也可以是由“一般化”思维联想到的：对（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n的研究，或是对（a+b+c）2、（a+b+c+d）2……（a1+a2+…+an）2的研究，或更一般化的是对（a1+a2+…+an）m的研究，等等。这样，学生在课堂小结、反思提炼、拓展延伸中，更进一步深化对完全平方公式的认识。