立足学情 以点带面

■蒋根林

圆的综合应用在南京市中考数学中是每年必考题型，考查的方向主要为：切线的证明（或其他结论证明），求线段的长度（求值）等。试题分布在第24～26题，难度属于中等及中等以上。下面以2019年南京市玄武区一模考试中圆的综合应用题为例与各位同行进行分享交流。

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F。

（1）求证：EF是⊙O的切线。

（2）若AD=7，BE=2。

①求⊙O的半径；

②连接OC交EF于点M，则OM=________。

【能力维度】掌握切线的证明，能根据已有的知识来解决圆中的某些计算问题。

【能力描述】了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，能利用三角形的相似解决一些实际问题；在解决问题的过程中，进一步理解所学的有关知识，发展学生的逻辑推理能力和应用意识。

一、结果及诊断

试卷分析结果如下：本题总分9分，共3问，分值设定分别为4分、3分、2分。均分只有4.72，难度系数0.53，零分率10.2%，满分率8.3%。说明绝大部分的学生只能解决圆的切线证明，而后面两问涉及计算，存在一些问题。

教师根据学生的答题卡，访谈了部分学生。

学生A：当做到这题的时候，还剩40分钟，时间还算充裕。看到这题的问题我觉得能做，因为我们平时证明切线很常见。第一道题不是很难，但是做第二问时，我发现有点困难，不知道该怎么应用所给的条件来解决问题，第三问就更别提了。

学生B：做完第一问后，图形被我画得有点乱了，老师您平时讲计算半径（或弦的长度）时，通过相似或垂径定理来解决问题，我考试的时候能找到相似，但是算不出来。

学生C：第一问我会做，第二问找不到图形相似。这道题里面的三角形太多了，不知道要用哪对三角形相似来计算。

学生D：我的时间不够用，找到关系后急急忙忙地算，算错了。

通过对上述学生的访谈，笔者发现学生主要存在以下问题：1.部分学生很难识别复杂的图形；2.部分学生完全没有思路；3.不能准确地找到关系；4.重压下计算出错等。

根据以上信息，结合学生的学情，笔者对教学的起点、数学的逻辑起点、学生的思维起点进一步思考，开设了一节试卷讲评课，仅供大家参考。

二、针对性设计

环节1：动手操作。

如图，AB是圆O的直径，点C为圆上异于A、B的一点，∠BAC的角平分线交圆O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E。

（1）判断DE与圆O的位置关系，并说明理由。

师：你能和大家分享一下解题思路吗？

生1：首先猜想：DE与圆O相切，

证明思路：连接OD，只要证明OD⊥DE即可。

根据AD平分∠BAC，可得：∠BAD=∠CAD，

根据DE⊥AE，可得：∠E=90°。

要证OD⊥DE，只要证∠ODE=90°，

此时∠E＋∠ODE=180°，所以OD∥AE。

如何证明OD∥AE是本题的关键。

因为OD=OA，所以∠OAD=∠ODA，

而根据∠CAD=∠ODA，可得：OD∥AE。

通过对学生的访谈过程，笔者发现，对于那些完全不会和思路不清晰的学生来说，读图理解题意和运用条件是他们的一个难点，特别是对于较复杂的图形。本环节的设计意图是让学生通过读题，自主画图，一方面经历图形的生成过程，让他们明白复杂的图形其实是通过简单的图形一步一步变化而来的；另一方面是对题干中的条件加深理解，在画图过程中可以快速地联想到与条件有关的某些结论。很多教师可能会忽略学生自主画图的过程。

环节2：（2）连接BD并延长，交AC的延长线于点F，连接DC。

①你能得到哪些结论？

生2：BD=DF，DC=DF，AB=AF，CE=EF

生3：△CDF∽△BAF，△DEF∽△ADF，△ADF≌△ADB。

对图形进行连线、加工，让图形在学生的手中慢慢生长，从最开始的简单图形，逐步演变成复杂图形。这个过程能让学生感受到命题人部分的思路，对试题有初步的认识，体现本节课的一条课堂主线：图形从简单到复杂的生长过程。

环节3：②若AC=7，BD=2，则圆O的半径等于多少？

师：我们该如何来解决这个问题？

生4：根据上面的结论：BD=DF=DC=2，其他的不知道。

师：如果我们用设未知数x来表示所要求的半径，你还能表示出哪些线段呢？

生5：AB=2x，CF=2x-7，EF=x-3.5。

师：那我们能否利用上述的相似来列出对应线段之间的关系呢？

对于计算的问题，学生可能都知道利用勾股定理或相似三角形，部分学生可能也能找到相似图形，但是这些图形对学生来说存在以下几个问题：一是找到的对不对、合不合适、能不能计算；二是一题多解的方法很多，如何找最简单的来计算；三是相似三角形中的对应线段和题目条件如何联系，能否正确地表示这些线段的长度；四是根据找到的相似关系列出方程，能否正确地解决这个方程的计算问题。

环节4：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为

生8：老师，还有一种方法，不用相似，连接CB，利用两次勾股定理也能列出方程，AB2-AC2=BF2-CF2，即（2x）2-72=42-（2x-7）2。

师：很好，请大家现在来解这些方程。直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F。

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AD=7，BE=2。

①求⊙O的半径；

②连接OC交EF于点M，则OM=_____。

师：请大家独立完成。

（2～3分钟后）提问，你有什么发现？

生10：这道题和刚刚的那道题一模一样。

师：真的是一模一样吗？

生10：图是一样的，条件不一样，但是解题思路都相同。

师：很好！几何题的条件叙述、条件顺序可能不同，但是可能最终呈现的图形是同一个图形，这需要大家在以后的解题中看清图形，厘清条件与思路，可能会有“惊喜的发现”哦。

环节4选取的是一模考试题。通过之前的教学，学生再来独立思考这个问题，去发现这两道题之间的关系。学生如果可以发现这两道题其实就是一道题，本节课的目标便达成了。

学生对两道题的题干条件、图形进行比较后发现：图形的呈现可以通过不同的叙述方式，但最终给出的图形其实是一个图形。这有利于学生在今后的复习中思维层次变得更高。

环节5：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CE=1，BC=6，求半圆O的半径的长。

此环节检测学生对本节课内容的掌握程度，同时让学生能认清这些题其实都是一道题，并且能够正确地解决这个问题。

环节6：自己尝试在原图上编制试题来考一考老师（或身边的同学）。

学生通过本环节能进一步对图形的生长加深认识与理解，在图形的简单与复杂中体会图形的“演变”，也能达到一题多变的目的。他们尝试对图形进行处理与改编，做一回命题人，能加深对数学学习与研究的兴趣。

三、反思

1.精致化分析。

精致化分析的目的是“理解数学，理解教学，理解学生”。本节课是借助学生一模考试的结果做精细化分析，精确地寻找学生在解决问题中存在的问题，并借此设计本节课的教学结构，目的是为了遵循数学的发展规律、学生学习数学的认知规律，从而使学生实现对知识的理解与掌握。

2.针对性设计。

针对性设计就是要将精准化分析的结果转化为具体的教学行为——根据学生存在的问题有针对性地设计教学。本节课的设计以学生的问题为基础，以图形的生长变化为载体，以波利亚的解题思路为主导，帮助学生解决复杂图形问题。在中考的复习阶段，很多学生会进行题海战术，但往往最终的效果都不是很好。事实上，在学习数学的过程中解题是非常重要的环节，但是搞题海战术不是我们所赞同的，真正有意义的数学学习其实是引发学生的主动思考，激发学生的数学思维。

总之，笔者希望学生能够从更高的角度去看待数学问题，发现它们内在的联系与区别，实现做一题精一题、做一题会一类题的目标，减轻在复习阶段的作业负担，从低效、重复的题海中解脱出来，提升数学核心素养。教师要根据学生的实际情况灵活地改变课堂的教学，与此同时还需要对试题加以深度研究，提升自己的专业素养。