一道俄罗斯竞赛题的探究与推广

湖北省武昌实验中学 (430061) 彭 景广东省珠海市实验中学 (519090) 王恒亮

问题(1999年俄罗斯数学奥赛试题)设x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,求证：x3+y3≤2.

最近笔者对该问题作了进一步探究，得到一些相关结果，现与读者共享.

1.新的不等式链

结论1 设x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,则x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

综上可得x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

2.结论的再推广

结论2 设x,y≥0,xr-1+yr≥xr+yr+1,则

xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤….

特别地，若r∈N+,则xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤…≤x+y≤2.

类似地，利用数学归纳法，我们可以得到更一般的结论.