活用伸缩变换 亮剑压轴大题*——以2019年全国Ⅱ卷理科第21题为例

甘肃省古浪县第三中学 (733103) 王宗德 黄国钰

2019年高考全国Ⅱ卷理科数学21题，试题以人教版A高中数学选修2-1《椭圆》这一节中的例3为原型，适度拓展改编，试题注重基础，解题思路常规，注重通法通性，但运算能力要求较高，计算繁杂．如果利用伸缩变换将椭圆化成圆，用圆的几何性质来解决椭圆问题，简化问题，这样会减少计算长度，降低计算难度．本文以伸缩变换解答该题，供师生参考．

1.真题再现

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

(ⅰ)证明：ΔPQG是直角三角形；

(ⅱ)求ΔPQG面积的最大值．

2.定义、性质回顾

(1)定义

(2)伸缩变换实现椭圆与圆的相互转换

(3)伸缩变换的性质

性质1 伸缩变换前后，曲线(包括直线)的位置关系不改变(如：平行、相切、相交).

性质2 伸缩变换前后，同一直线上(或平行线上)的两线段长度之比不改变.

性质4 一封闭图形，经过伸缩变换的作用，变换后的面积S′与变换前的面积S之比为λμ．

3.真题新解

图1

(2)(ⅰ)令

图2

于是KP′Q′KQ′G′=2KPGKQG=-2，得KPGKQG=-1．故PQ⊥QG，所以ΔPQG是直角三角形．

SΔQ′P′G′=sin∠P′O′G′=sin2∠P′Q′G′=2sin∠P′Q′G′cos∠P′Q′G′．

要使SΔQ′P′G′取得最大值，只需sin∠P′O′G′取得最大值．由题意知∠P′O′G′是锐角而∠P′O′G′=2∠P′Q′G′，则∠P′Q′G′也是锐角，只需∠P′Q′G′取得最大值．