例析三角函数多解问题的防错策略*

江西省萍乡中学 (337000) 黄贤锋

三角函数是高考数学的必考内容，在整个高中数学内容中有着举足轻重的地位．在解决有关三角函数问题时，由于没有选取合适的方法，或是对题意的理解不够深刻，经常容易产生多解．笔者结合教学实践，归纳以下这类问题的防错策略，与大家共享．

策略一 代入检验 得出矛盾

当问题出现多解时，将解逐一代入已知条件，进行检验，往往会得出矛盾，从而达到去伪存真的目的．

例1 (2019年高考全国Ⅰ卷理数第17题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

解：(1)A=60°(过程略).

策略二 回归定义 缩小范围

(1)求sinC的值；

(2)若a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值．

策略三 精选函数 规避错解

在解决已知三角函数值，计算相关角度的问题时，我们通常通过计算角的三角函数值来判断角的值．比如，要计算α的值，我们可以选择计算sinα,cosα或tanα，它们的效果一样吗？那么该如何选择呢？这一选择跟α的范围有很大的关系．设α∈D，若选择的函数在D上是单调函数，得到的α值有且仅有一个；若选择的函数在D上不单调，则有可能得到多个α值．因此应该选择单调函数，规避错解．

策略四 边角关系 轻松取舍

在解决一些以三角形为背景的问题时，经常可以利用三角形中的边角关系缩小角的范围，达到取舍的目的．

分析：在由sinB计算cosB的值时，由于不能挖掘出B为锐角这一实质，导致出现多解，下面利用三角形中的一个结论缩小角的范围．

综上，不难看出多解的取舍过程其实就是运算策略选择的过程，只有熟练掌握运算方法，明确运算方向，才能快速取舍运算结果，逐步提升学生的数学运算素养.