一道含参零点问题的多视角求解

■浙江省仙居中学高三(6)班

题目：已知函数f(x)=log2(4xa·2x+a+1),若方程f(x)=x有两个不同的实数根,求实数a的取值范围。

1.视角1——函数角度,实根分布

因为方程log2(4x+a·2x+a+1)=x有两个不同的实数根,即4x+a·2x+a+1=2x。

设t=2x,t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有两个不同的正数解。

令f(t)=t2+(a-1)t+(a+1),由已知可得：

评注:该题比较综合,它涉及复合函数、指对数函数、二次函数、零点个数等知识点;主要用了换元法和二次函数根的分布的处理技巧,是化归转化思想和函数方程思想的应用。通过换元法把指对数方程有根的问题转化为了二次方程有根的问题,起到了化繁为简、化陌生为熟悉的作用;通过结合二次函数的图像,用判别式、对称轴、函数值来控制二次方程根的分布。实根分布是解决二次函数含参零点问题的一个通用方法。

2.视角2——方程角度,韦达定理

换元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有两个不同的正数解。

评注:韦达定理是从方程角度来思考的,实根分布是从函数角度来思考的。根只和正负有关时用韦达定理更简单,而实根分布更具有一般性,两者很多时候可以相互转化。

3.视角3——暴力求解,求根公式

换元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有两个不同的正数解。

由求根公式得：t1,2=

只需小根t1=

移项平方可解得-1＜a＜3-23。

评注:数学是自然的,数学的解题也应该是自然的。二次方程有两个正根,求出来,两根都大于0,自然就解决问题了,这是最直接的想法了。

4.视角4——化归转化,分离参数

由t2+(a-1)t+(a+1)=0,得a=

令m=t+1(因为t＞0,所以m＞1)。

评注:含参问题往往可以从分类讨论和分离参数两个角度来思考。这里分离参数后,可以转化为水平线y=a和一个静止的函数y=g(m)的图像的交点问题。分离参数往往可以使含参问题避开烦琐的分类讨论过程。