通项公式——二项式定理的核心

■河南省许昌市第五高级中学

一、求二项式展开式中满足条件的项或项的系数

通项公式可以表示展开式中的每一项,也就可以求解其中某一项的值。

例1在二项式的展开式中,含有x3项的系数为____。

解析：要求二项式展开式中含x3项的系数,只需知道其通项公式(即第r+1项),通过系数确定r的值,即可计算求解。

由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1=所以12-3r=3,解得-20x3,即含有x3项的系数为-20。

例2在二项式的展开式中,含有x9的项为____。

解析：本题要求的是含有x9的项,所以不仅要求出该项的系数,而且下结论时写出的应该是一个完整的项。

由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1所以18-3r=9,解得r=3,含有x9的项为T4=

例3对任意的实数x,有(x-1)4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4,则a3的值为____。

解析：本题中,将x-1改写为x-3+2,将x-3看成一个整体,可直接利用二项式的通项公式计算得到a3。

因(x-1)4=(x-3+2)4,其通项公式为

例4在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( )。

A.3项 B.4项

C.5项 D.6项

解析：由题意知,该二项式的通项公式为24)。要使x的幂指数为整数,即Z,解得r=0,6,12,18,24,共有5项,选C。

评析:在描述二项式展开式的通项公式时,要注意应用整体代换的方式,即此处要把x2和分别整体化为a和b;通过化简、对比计算得到r时,要注意所求结论是求给定的项还是给定项的系数。下结论时要注意区分,对于某些二项式展开式中存在特殊的情况,能够利用整体代换的方式进行解答。

二、根据给定的项确定二项式中的参数的值

含有参数的二项式中,先通过某项的系数的确定,再利用通项公式确定该参数的值。

例5若的展开式中x3的系数为则常数a=( )。

A.1 B.3 C.4 D.9

解析：本题可以根据通项公式直接得到x3的项,利用系数关系,得到关于a的方程,解方程即可。

由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1由题意知解得r=8,即含x3的项的系数为解得a=4,故选C。

例6若(1+2x)n的展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍,则正整数n=____。

解析：由题意知,该二项式的通项公式为故含x3项的系数为含x的系数为所以解得n=5。

例7若的展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为( )。

A.120 B.210 C.252 D.45

解析：由题意知,其展开式的通项公式为因为只有第6项系数最大,所以解得2n=10,n=5,即此时当时,其常数项为120,选A。

评析:二项式展开式中,若其中只有第r+1项的系数达到最大,则该项的系数比它前后两项的系数都要大,可以确定相关系数的值或范围。

三、求混合二项式展开式的项或系数

例8若二项式为(1+2x)3(1-x)4,则其展开式中含x6项的系数为____。

解析：此题可先分别表示两个二项式展开式的通项公式,然后明确该问的二项式展开式的每一项都与这两个通项公式有关即可。

(1+2x)3展开式的通项公式为Tr+1=展开式的通项公式为Ts+1所以原二项式的通项为T=令r+s=6,则满足题意的(r,s)为(2,4),(3,3),含x6项的系数为

例9已知的展开式中没有常数项,n∈N*,2≤n≤8,则n=____。

解析：由题意知,n∈N*,2≤n≤8,故n=2,3,4,5,6,7,8。展开式的通项公式为要使(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,则必须n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0。通过对比,可得满足条件的n的值为5。

评析:求解两个二项式的混合展开式系数问题,若其中一个二项式项不多,则只需其中一个的通项公式得到,然后依次与另一个的每一项相乘,根据条件计算得到相关值;若两个二项式的项都比较多,则两个通项公式都进行表示,然后相乘,再根据条件计算得到相关值。

四、求解相关综合问题

例10设f(x)是的展开式的中间项,若f(x)≤mx在区间上恒成立,则实数m的取值范围是____。

解析：利用通项公式,得到f(x)的解析式,再求解不等式。

评析:二项式定理与函数相结合,利用通项公式得到相关函数的解析式,通过不等式恒成立问题得到参数的范围。