已知函数的最值求参数值或取值范围问题的一种解法

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

题1 已知函数y=x2-2(a-1)x+4(1≤x≤5)的最小值为2，求常数a的值．

x≤a(2-lnx)(0

(1)当x<1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是____；

(2)若函数f(x)的最大值为1，则a=____．

解(1)(-∞,1).当x<1时，f(x)=a2-(x-a)2有且只有一个极值点，即有极值点，其充要条件是a<1.

(2)-1.函数f(x)的最大值为1，即下面的两种情况之一成立：

①“当x<1时，f(x)max=1”且“当x≥1时，f(x)≤1”.

综上所述，可得a=-1.

②“当x≥1时，f(x)max=1”且“当x<1时，f(x)≤1”.

“当x≥1时，f(x)max=1”

所以“当x≥1时，f(x)max=1”即a=e.

但是，当a=e且x<1时，由f(x)=e2-(x-e)2可得f(x)的取值范围是(-∞,2e-1)，而2e-1>1，得f(x)≤1不恒成立.

综上所述，可得此时不符合题意.

因而所求答案是a=-1.

(∃t0∈[4-2a,5-2a],t0=5-a或a-5)

⟺(5-a∈[4-2a,5-2a]或a-5∈[4-2a,5-2a])

综上所述，可得所求a的取值范围是[0,3].

题6 (2010年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)第2题)已知函数y=(acos2x-3)sinx的最小值为-3，则实数a的取值范围是____.

可得题设即g(t)≥-3(-1≤t≤1)恒成立，且∃t∈[-1,1]，使得g(t)=-3.

因为g(1)=-3，所以题设即g(t)≥-3(-1≤t<1)恒成立，也即at(t+1)(t-1)+3(t-1)≤0(-1≤t<1)恒成立，即at(t+1)≥-3(-1≤t<1)恒成立，即at(t+1)≥-3(t∈(-1,0)∪(0,1))恒成立.

(1)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；

解(1)(过程略)(0,e).

进而可得：当x∈(0,x0)时，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)是增函数；当x∈(x0,+∞)时，g(x)<0,f′(x)<0,f(x)是减函数.

(2)的另解由a>0，可得函数f(x)的定义域为(0,+∞).