弱f-clean环

吴 丹， 殷晓斌

(安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241003)

除非特别说明，本文中的环均指有单位元的结合环。设R是环，U(R)、Id(R)、J(R)分别表示R的可逆元集合，R的幂等元集合和R的Jacobson根；Mn(R)表示环R上的n阶全矩阵环。Tn(R)表示R上的n阶上三角矩阵环。Zm表示整数环Z模m的剩余类环。

1977年，Nicholson[1]提出了clean环的概念，称a在R中是clean元，如果a=e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)。如果R中的任意元素都是clean元，则称环R为clean环。近几十年来国内外很多学者对clean环的相关性质及其推广做了很多研究[1-10]。2006年，Ahn等[2]提出了弱clean环的概念，称a在R中是弱clean元，如果a=e+u或a=-e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)。如果R中的任意元素都是弱clean元，则称环R为弱clean环。2010年，李炳君等[3]将clean环的概念推广到f-clean环，即R中的每个元素都可以写成一个幂等元和一个满元素的和的形式。2011年，刘丽等[4]提出了强f-clean环的概念。称环R为强f-clean环，若R中的每个元素都可以写成一个幂等元和一个满元素的和的形式且其中幂等元和满元素是可交换的。2013年，张雪等[5]对f-clean环和半-clean环进行了推广，提出了f-半-clean环的概念。称环R为f-半-clean环，若R中的每个元素都可以写成一个周期元和一个满元素的和的形式。同年，张培雨等[6]引入了FR-环的概念。称环R为FR-环，若R中的每个元素都可以写成一个正则元和一个满元素的和的形式。

受到上述启发，本文定义了弱f-clean环，研究了弱f-clean环的一些性质，得到如下主要结果：(1)在R是左拟duo环的情况下，R是弱clean环当且仅当R是弱f-clean环。(2)一簇环{Rα}α∈I中，每个Rα都是弱f-clean环且至多一个Rα不是f-clean环当且仅当R=∏Rα是弱f-clean环。(3)设R是环，则下列条件等价：a.R是f-clean环；b.任意整数n≥1，Tn(R)是f-clean环；c.任意整数n≥2，Tn(R)是弱f-clean环；d.任意整数n≥2，Dn(R)是弱f-clean环。(4)f-clean环R的平凡扩张和理想扩张仍是弱f-clean环。

1 弱f-clean环

定义1.1[3]设R为环，称元素k∈R是满元素，若存在s，t∈R，使得skt=1。我们用K(R)表示R中所有满元素的集合。

显然，可逆元以及单边可逆元都是满元素。

定义1.2设R为环，称元素a∈R是弱f-clean元，若存在e∈Id(R)，w∈K(R)，使得a=e+w或a=-e+w。称环R为弱f-clean环，如果它的每个元素都是弱f-clean元。

注1.1clean元是f-clean元，但f-clean元不是clean元。

称环R为左拟duo环[11]，如果环R中每一个极大左理想是双边理想。

定理1.1令R是左拟duo环，则下列条件等价：

(1)R是弱clean环；

(2)R是弱f-clean环。

证明(1)⟹(2)显然。

(2)⟹(1)只需证w∈K(R)时，w∈U(R)。设存在s,t∈R，使得swt=1，所以s是右可逆。假设s不是左可逆，那么Rs≠R，并且在R中存在一个极大左理想M，使得Rs⊆M≠R。因为R是左拟duo环，那么M是一个理想。注意s∈M，因此我们可以得到sR⊆M与s是右可逆矛盾，则wts=1，其中w是一个右可逆元素。类似可得w是一个左可逆元素。所以w∈U(R)。得证。

注1.2f-clean环都是弱f-clean环，但是弱f-clean环不一定是f-clean环。

引理1.1[10]环R是一个单位正则环的充分且必要条件是环R的任一元素都可以写成R的一个单位与一个幂等元的乘积。

定理1.2如果R是单位正则环，且幂等元为中心幂等元，则R为f-clean环。

证明因为R是单位正则环且幂等元为中心幂等元，所以对于任意的a∈R，有a=ue=eu，其中e2=e∈R，u∈U(R)。由于a=ue=(1-e)+(ue+e-1)，我们令s=u-1e+e-1，t=1。又因s，t∈R，s(ue+e-1)t=(u-1e+e-1)(ue+e-1)=1，所以ue+e-1∈K(R)。因为1-e是幂等的，a是任意的，所以R为f-clean环。

命题1.1弱f-clean环的同态像仍是弱f-clean环。

(⟸)由命题1.1即得。

引理1.2如果e是环R中的幂等元和a是环eRe中的弱f-clean元，则a是环R中的弱f-clean元。

证明由a是环eRe中的弱f-clean元知，a=s+d或a=s-d，其中d∈Id(eRe)，s∈K(eRe)。设存在t,r∈eRe，使得tsr=e。当a=s+d时，(t-(1-e))(s-(1-e))(r+(1-e))=tsr+(1-e)=e+(1-e)=1，所以s-(1-e)∈K(R)。又因为d+(1-e)∈Id(R)，所以a=s+d=(s-(1-e))+(d+(1-e))是环R中的弱f-clean元。当a=s-d时，(t+(1-e))(s+(1-e))(r+(1-e))=tsr+(1-e)=e+(1-e)=1。所以s+(1-e)∈K(R)。又因为d+(1-e)∈Id(R)，所以a=s-d=(s+(1-e))-(d+(1-e))是环R中的弱f-clean元。

引理1.3设R为环，e是R中的中心幂等元，x是R中的弱f-clean元，那么ex是环eRe中的弱f-clean元。

证明因为x是R中的弱f-clean元，所以设x=s+g或x=s-g，其中s∈K(R)，g∈Id(R)。所以ex=es+eg或ex=es-eg。易证es∈K(eRe)，eg∈Id(eRe)，所以ex是环eRe中的弱f-clean元。

定理1.4设环R是弱f-clean环，e是R中的中心幂等元，则eRe和(1-e)R(1-e)是弱f-clean环。

推论1.1令e1，……，en是正交中心幂等元且e1+e2+…en=1。任意的x∈R是弱f-clean元，则对任意的i，eix∈eiRei是弱f-clean元。

引理1.4设R为环，则下列条件等价:

(1)R是f-clean环；

(2)对于每个R中的元素x，都有x=-e+w，其中e是R中的幂等元，w是满元素。

证明(1)⟹(2)令x∈R。因为R是f-clean环，所以有-x=e+w1，其中e是R中的幂等元，w1是满元素。那么x=-e-w1。因为-w1也是满元素，所以令w=-w1，则x=-e+w。

(2)⟹(1)任取x∈R，那么-x=-e+w2，其中e是R中的幂等元，w2是满元素。于是有x=e-w2。因为-w2也是满元素，所以令w=-w2，则x=e+w。由x的任意性可知R是f-clean环。

定理1.5设I是有限指标集，{Rα}α∈I是一簇环，则下列条件等价：

(1)R=ΠRα是弱f-clean环；

(2)每个Rα都是弱f-clean环且至多一个Rα不是f-clean环。

证明(1)⟹(2)假设R是弱f-clean环，那么每个Rα作为R的同态像是弱f-clean环。假设Rα1，Rα2不是f-clean环，其中α1≠α2。因为Rα1是弱f-clean环且不是f-clean环，所以存在xα1∈Rα1，xα1=wα1+eα1，其中wα1∈K(Rα1)，eα1∈Id(Rα1)，但是对于任意w∈K(Rα1)，e∈Id(Rα1)，xα1≠w-e。类似地存在xα2∈Rα2，xα2=wα2-eα2，其中wα2∈K(Rα2)，eα2∈Id(Rα2)，但是对于任意w∈K(Rα2)，e∈Id(Rα2)，xα2≠w+e。令x=(xα)∈R，当α∈{α1,α2}时，xα=xαi；当α∉{α1,α2}时，xα=0。则对于任意w∈K(R),e∈Id(R)，有x≠w±e。因此至多一个Rα不是f-clean环。

(2)⟹(1) 如果每个Rα都是f-clean环，那么R=ΠRα是f-clean环。因此R=ΠRα是弱f-clean环。假设Rα0是弱f-clean环，但不是f-clean环，其它Rα都是f-clean环。设x=(xα)∈R，那么在Rα0中，我们有xα0=wα0+eα0或xα0=wα0-eα0，w∈K(Rα0)，e∈Id(Rα0)。如果xα0=wα0+eα0，那么对α≠α0，令xα=wα+eα。如果xα0=wα0-eα0，那么对α≠α0，令xα=wα-eα。存在w=(wα)∈R，e=(eα)∈R，使得x=w+e或x=w-e。因此R是弱f-clean环。

定理1.6如果R是弱f-clean环，2∈U(R)，则R中的每个元素都可以表示成不超过两个可逆元与一个满元素的和。

2 弱f-clean环的扩张

设α:R→R是环同态，R关于α的斜幂级数环R[[x;α]]={f(x)|f(x)∈R[[x]]}，其中加法同幂级数环中的加法，乘法是对于任意r∈R，有xr=α(r)x；特别地，R[[x]]=R[[x;1R]]。

定理2.1设R为环，则下列条件等价：

(1)R是弱f-clean环；

(2)形式幂级数环R[[x]]是弱f-clean环；

(3)斜幂级数环R[[x;α]]是弱f-clean环，其中α是R的自同态。

证明(2)⟹(1)由R是R[[x]]的同态像可得。

(3)⟹(2)在(1)⟹(3)中取α=1R即证。

设R为环，我们记Dn(R)={diag(a11,a22,…,ann)|aii∈R,i=1…n}。

定理2.2设R是环，则以下条件等价：

(1)R是f-clean环；

(2)任意整数n≥1，Tn(R)是f-clean环；

(3)任意整数n≥2，Tn(R)是弱f-clean环；

(4)任意整数n≥2，Dn(R)是弱f-clean环。

显然，diag(e,E1)在Tk+1(R)中是一个幂等矩阵。因为w是满元素，所以存在s,t∈R，使得swt=1。因为W1是满矩阵，所以存在S1，T1∈Tk(R)，使得S1W1T1=Ek。设

(2)⟹(3)显然成立。

(3)⟹(4)令Kn(R)={(aij)∈Tn(R)|aii=0}，则Tn(R)/Kn(R)≅Dn(R)。因为Tn(R)是弱f-clean环，所以Dn(R)是弱f-clean环。

(4)⟹(1)因为Dn(R)={diag(a11,a22,…,ann)|aii∈R,i=1…n}是弱f-clean环，所以存在幂等矩阵E和满矩阵W，使得Dn(R)=E+W或者Dn(R)=-E+W，其中E=diag(e1,e2,…,en)，对于任意i∈N，ei∈Id(R)，W=diag(w1,w2,…wn)，对于任意i∈N，wi∈K(R)。当Dn(R)=E+W时ai=ei+wi，i∈N。当Dn(R)=-E+W时，ai=-ei+wi，i∈N。由定理1.5得R是f-clean环。

设R是一个环，R通过R-R-双模V的平凡扩张定义为T(R，V)=R⊕V。其加法运算为按坐标相加，即(r，v)+(s，w)=(r+s，v+w)；乘法运算为(r，v)(s，w)=(rs，rw+vs)。显然(1，0)是T(R，V)的单位元。

定理2.4如果R是弱f-clean环，则R通过V的平凡扩张E=T(R，V)是弱f-clean环。

证明对于任意的a=(r，v)∈T(R，V)，存在r=e+w或r=-e+w，e2=e∈R，w∈K(R)。于是a可以表示成a=(r，v)=(e，0)+(w，v)或a=(r，v)=-(e，0)+(w，v)。因为(e，0)(e，0)=(e，0)，所以(e，0)是T(R，V)中的幂等元。下面证明(w,v)∈K(E)。由于存在s,t∈R，使得swt=1。因为(s，-svts)(w，v)(t，0)=(swt，svt-svtswt)=(1，svt-svt)=(1，0)，故(w,v)∈K(E)。故E=T(R，V)是弱f-clean环。

设R是一个环，V是R-R-双模，并且对于任意v，w∈V，r∈R都有(vw)r=v(wr)，(vr)w=v(rw)，(rv)w=r(vw)。R通过V的扩张构成一个环，称为理想扩张，记作I(R,V)=R⊕V。其加法运算为按坐标相加，即(r，v)+(s，w)=(r+s，v+w)；乘法运算为(r，v)(s，w)=(rs，rw+vs+vw)。显然(1，0)是I(R，V)的单位元。

定理2.5如果R是弱f-clean环，并且对于任意的v∈V，存在w∈V，使得v+w+wv=0，则R通过V的理想扩张T=I(R，V)是弱f-clean环。

证明设s=(r,v)∈I(R,V)，则r=e+u或r=-e+u，e2=e∈R，u∈K(R)。于是s=(e，0)+(u，v)或s=-(e，0)+(u，v)。显然，(e，0)在T中是幂等的，接下来只需证(u,v)∈K(T)。由于存在s,t∈R，使得sut=1。由题中假设，存在w∈V，使得svt+w+wsvt=0。因为(s，ws)(u，v)(t，0)=(sut，svt+w+wsvt)=(1，0)，所以(u,v)∈K(T)，故T=I(R，V)是弱f-clean环。