对培养学生数学反思能力的策略研究

张玉婷

[摘  要] 教師在执教过程中需有效地把握各种教学契机，引导学生全面反思，从而形成良好的反思习惯，促进数学综合素养的不断提升. 文章通过以下教学策略发展学生的数学反思能力：审美观点——促发反思意识;概念教学——激发反思能力的有效载体;例题教学——培养反思能力的重要途径;反思档案袋——培养反思能力的有效助手.

[关键词] 高中数学;反思能力;策略

反思能力就是主动地对学习的认知活动客观地进行反思活动，这些反思活动包括分析、审视、总结、评价和调控. 反思能力的培养不仅关系到教与学的进程与成效，还关系到学生数学核心素养的达成以及思维能力的发展. 那么，作为一名一线数学教师，首先需要自身对反思能力有足够的理解和认知，并有意识地培养学生的反思能力，这是教师实施教学的责任，更是优秀教师策略的体现. 当然，反思能力的培养并非一蹴而就的，需要在日常教学中一以贯之，离不开全方位的行动.

审美观点：促发反思意识

数学是一门艺术，它也具有独特的美感，它的美蕴藏于它的基本结构中，需教师发掘并揭示. 因此，在教学中，教师需要时时不忘向学生揭示数学的美，如对称美、统一美、类比美、和谐美、奇异美、简单美等，促发学生的反思意识.

案例1：在教学“椭圆的定义”时，教师可以不失时机地揭示椭圆所具备的和谐美与对称美，从而以美的意识唤起学生的数学思维，在美的享受中促进学生积极思维. 具体教学设计如下：

由定义可得MF1+MF2=2a.

据距离公式又有 + =2a ① . ？摇？摇

师：以上方程①可否作为椭圆方程？

生（思考了片刻）：能.

师（追问）：那么对于这种形式你们是否觉得满意？

生：不满意.

师：为什么呢？

生1：我认为它违背了数学的简洁美，可以将其进行进一步的化简.

师：非常棒的想法！那大家要不要试一试呢？

生2：两次平方整理，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），所以 + =1（a>c>0） ②.

师：经过化简的确简洁多了，不过是不是还欠缺点其他美呢？

生3：在对称美上似乎有所欠缺.

师：那你有没有办法让它更具对称性呢？（学生思考了片刻）

师（点拨）：是不是可以从a2-c2的正负特点着手变换呢？

生3：我想到了. 设a2-c2=b2（b>0），则有 + =1（a>b>0），此为椭圆的标准方程.

师：多么棒的思路！大家是不是也发觉了，此处字母的引进着实是对数学美的一种追求……

在此案例中，教师适时揭示数学美，让学生体验到数学竟是如此美妙绝伦，如此充满美的韵律，以此进一步激发他们的学习兴趣，并带着激情高昂的情绪进行探究与思考，从而促发自觉的反思行为.

概念教学：激发反思能力的有效载体

高中数学概念的教学是学生进行所有数学活动的基础，其重要性不言而喻. 在课堂教学中，教师在运用已有知识对新概念进行定义的进程中需尽量创设合理有效的问题情境指引学生积极主动进行回忆和探索，不断反思概念间的联系，并在不断反思“为什么”的过程中形成深刻的理解.

案例2：在教学“函数”之前，可以列出如下反思性学习的提纲：

（1）说说研究对象;

（2）阐述研究对象之间的关系;

（3）如何对应x与y值;

（4）构造以上对应关系后，如何定义x与y之间的关系.

通过以上一系列反思行为，学生对初中时学习的函数定义有了一个完整的建构，脑海中形成了一个较为完整的概念体系. 教师此时应适时拾级而上，引导学生对函数进行深层次的反思，从而对函数定义的内涵产生更深刻的认识，如函数的定义域、函数的对应法则等. 通过以上一系列的反思行为，提高学生对函数关系的本质认识，深化学生的知识结构，为新课题的展开奠定夯实的基础.

例题教学：培养反思能力的重要途径

例题教学是数学教学的一种重要课型，它可以培养学生的思维能力，还可以促进良好数学观念的形成，提升学生的反思能力. 笔者认为，例题教学中反思能力的培养，应让学生经历“确定目标——分析——推理——得出答案——反思——总结”的过程. 确定目标是反思能力培养的第一步;分析和推理是反思能力培养的重要环节;反思的过程是反思能力培养的必要环节;总结的过程是反思能力形成的表现.

案例3：求函数y=x+ 的最值.

解：当x>0时，y≥2 ，当x= 时，可取等号，ymin=2 ;

当x<0时，y≤-2 ，当x=- 时，可取等号，ymax=-2 .

本题较为简单，学生求解起来毫无难度，从本题中凸显了分类讨论思想. 然而，此时就结束本题的探究，那么就无法体现本题的价值所在，无法引领学生挖掘深层次的内涵. 教师可以从结构特点、解题规律和解题方法入手引导反思，从而生成深刻理解.

反思1：具有哪些特征的函数表达式可以转化为此类结构式？观察以下各式，思考哪些可以转化，哪些不可以，并阐明原因.

（1）y=x-2+ ;

（2）y=x+ ;

（3）y= ;

（4）y= ;

（5）y= （ac≠0）;

（6）y= （ac≠0）.

反思2：具有此结构特点的表达式是否都可以用均值不等式进行求解？（解题方法的反思）

（1）y=x+ （x≥2）;

（2）y=x+ （x≤-5）;

（3）y=x+ （0≤x≤1）.

反思3：如果改变了结构式的符号，解题方法是否可行？是不是可以推广到一般形式？

（1）y=x- 不适用均值不等式，但可以转换为函数单调性进行求解.

（2）y=ax+ （ab≠0）.

通过反思解题过程，可以总结出以下解题规律：

①当ab>0时，可以选择均值不等式求最值，当取不到等号时，需改成函数单调性求解. （a>0，b>0，函数图像如图1所示）

②当ab<0时，则可用函数单调性求解. （a>0，b<0，函数图像如图2所示;a<0，b>0，函数图像如图3所示）

此案例中，教师通过问题情境的创设，引导学生反思结构特点和解题过程，重新审视和整合问题，激活了学生的思维，开阔了学生的思路.

反思档案袋：培养反思能力的有效助手

反思习惯的养成需要学生通过不断去自我监督和自我评价自身的学习过程和学习方法才能得以实现. 反思档案袋的创建是形成性评价的一种形式，它是帮助学生养成反思习惯的有效助手. 反思档案袋包括学习笔记和错题集，学习笔记则用来记载预习中遇到的困惑、学习过程中的收获以及个人的反思小结，通过不断地重温学习笔记达到建构知识系统的目的. 而错题集顾名思义是用来记载作业、练习和考试中的一些典型错误，记载的同时还需进行以下反思：首先反思错的原因是什么，是哪种原因导致的错误，如何避免错误的再次发生;其次是将初次解题时的思路记录下来，反复剖析和反思，同时对自身的学习行为进行批判性思考，以此对知识进行有效的重组，对思维进行合理的调控. 以下为学生错题本上的一道典型题：

案例4：椭圆 + =1的焦点为F1和F2，椭圆上有一动点P，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标取值范围为________.

错因反思：学生在求解此题时易形成以下两种错误：①在利用余弦定理cos∠F1PF2<0求解时易出现计算错误;②一些学生思维卡壳，无法想到借助极限思想首先求90°的策略.

为了培养学生思考的习惯，教师引导学生对本题进行加工和引申，通过“一题多变”促进思维的形成. 学生经过思考，对以上问题提出了以下变式：

变式1：椭圆 + =1的焦点为F1和F2，椭圆上有一动点P，当∠F1PF2为锐角时，点P的横坐标取值范围为________.

变式2：椭圆 + =1（a>b>0）的焦点为F1和F2，椭圆上有一动点P，当∠F1PF1为钝角时，点P的横坐標取值范围为____.

以上变式中，变式1较为简单，学生解决起来没有难度;而变式2具有一定的思维量，是一道值得深究的题目，教师可以以此作为探究范例，在课堂上与学生一同探究和解决，从而让学生感受到自己不仅是一个发现者，还是一个思考者、探究者和成功者.

总之，反思本质上是对问题的一种理性思考，数学学习离不开反思，培养学生的反思能力是广大数学教师的新课题. 高中数学中的概念、定理、公式和法则等错综复杂，通过反思拨开重重迷雾，探究到数学的本质，从而实现思维趋向成熟和完善，实现深度学习，提高学生的反思能力.