用裂项相消求等差乘等比数列的前n项和

高春香

[摘  要] 文章采用待定系数法对等差乘等比数列进行裂项，利用“裂项相消”代替“错位相减”对等差乘等比数列求和，并证明了此方法的通用性. 用裂项相消对等差乘等比数列求和，运算量小，且运算结果简洁工整.

[关键词] 等差乘等比数列;待定系数法;裂项相消;错位相减

“用错位相减法求等差乘等比数列的前项和”是高中数列求和的一种基本类型.错位相减法求和，针对数列类型单一，计算过程程序化、计算烦琐且计算中存在较多的易错点，对学生的计算水平要求较高. 在实际教学中通常存在知道求和方法，但运算结果永远算不对的情况. 笔者在教学实践中寻找到一种代替错位相减的求和新方法，方法简单，容易推广且为通性通法. 现将结果呈现如下.

例1：已知数列{an}的通项公式为an=（4n-1）3n，Sn表示数列{an}的前n项和，求{Sn}的通项公式.

解：设an=[λ（n+1）+μ]3n+1-（λn+μ）3n，

则an=[2λn+（3λ+2μ）]3n.

由已知得2λ=4，3λ+2μ=-1，

解得λ=2，μ=- ，

记bn=2n- 3n，则an=bn+1-bn.

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=2n- 3n+1+ ，

综上Sn=2n- 3n+1+ .

例2：已知数列{an}的通项公式为an=（kn+t）qn，其中k，t，q为常数且q≠1. Sn表示数列{an}的前n项和，求{Sn}的通项公式.

解：设an=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λn+μ）qn，

则a =[（λq-λ）n+（qλ+qμ-μ）]qn.

由已知得λq-λ=k，qλ+qμ-μ=t，

解得λ= ，μ= - .

記bn=（λn+μ）qn，则an=bn+1-bn，

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λ+μ）q

= （n+1）+ - qn+1- + - q.

本文采用待定系数法对等差乘等比数列进行裂项，利用裂项相消求和，运算量较少，运算结果整齐，且为等差乘等比数列求和的通用方法.