将信息科技融入线性代数教学的思考

王珍

[摘           要]  线性代数是本科生需要掌握的一门重要的数学基础课程，但其内容抽象难懂，很多学生会疑惑学了有什么用。主要介绍了线性代数在现代信息科技前沿的几个方面的应用，旨在拓宽学生的视野，激发学生的学习兴趣，从而可以达到优化课堂教育教学的效果，进一步提高学生的理性思维能力和科学素养。

[关    键   词]  线性代数;图像处理;网页排序;人脸识别;保密通信;课堂教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2020）22-0172-02

一、引言

我们从幼儿园就开始学习数学，经过小学、初中、高中直至大学，仍然需要不断地学习数学，那么很多同学会产生疑问：数学真的这么重要吗？答案是肯定的。数学不仅仅是一些算术、公式、图形、定理，它更是一种思维方式，是人类认识世界、改造世界的重要工具。如果没有数学，人们可能还生活在愚昧之中，可见它所发挥的作用是举足轻重的。我国数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，数学无处不在。”而对大学生而言，学习数学不仅可以培养科学品质，同时也为很多后续专业课程提供数学基础。其中线性代数是高校理工类以及经济类专业大一学生的基础课程，也是研究生入学考试中必考的数学课程之一，教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会主任徐宗本院士指出：“统计数字表面，大学期间的课程对学生影响最大的就是線性代数，其次是高等数学（下册）即多元微积分。”可见线性代数的重要地位。

线性代数课程主要介绍线性空间理论和矩阵理论，处理线性关系问题，包括行列式、矩阵、向量与向量空间、线性方程组、方阵的特征值与特征向量、二次型等[1]。在自然科学、工程技术、信息科技、计算机及经济管理学等诸多领域有着广泛的应用，对培养学生的抽象思维能力、空间想象能力、逻辑思维能力、科学计算能力以及建立数学模型解决实际问题的能力具有十分重要的意义。但是线性代数中的概念比较抽象，定理以及推理论证也十分严密，有些学生在学习的过程中感到比较吃力，经常出现似懂非懂的问题，甚至很多学生经过一学期的学习，只是背会公式和定理，学会了按照常规套路去解题，并不知道线性代数的知识有何用处、如何运用，只是最后完成了考试而已，更谈不上深入理解和灵活应用。导致这种现象的一个重要原因就是一般教科书往往比较注重线性代数理论的系统介绍，忽略了线性代数强大的应用背景，以致学生没有了解到这些知识有什么用处以及怎么去用，因此在现有的课堂教学模式上，结合实际情况，在教学中穿插一些应用实例，使学生体会到所学知识的“应用性”，从而调动学生主动学习的积极性，不仅学习到“很数学”的知识，更要学会如何将这些知识应用到自己的专业中，提高解决实际问题的能力。本文结合线性代数在信息科学技术中的几个应用，提出对线性代数教学过程中自己的一点思考，抛砖引玉，与大家共勉。

二、线性代数在信息科学技术中的几个应用

（一）图像处理与矩阵运算

我们通常所见到的图像，在计算机中都是一组数字，也就是数字图像，又称数码图像，其基本元素为像素。在数学上，一幅数字图像可以由一个矩阵来表示，矩阵中的每个元素代表像素，其中黑白图像（只有黑白两种颜色没有中间的过渡，如条形码、二维码等）的像素值只有0和1，灰度图像（由亮度信息没有颜色信息）的像素可以用0～255之间的数表示，这两种图像在数学中可以用一个二维矩阵来表示，彩色图像（即RGB图像）可以用一个三维矩阵去表示，因此图像就等同于矩阵。在图像处理中，矩阵运算理论非常有用，如图像处理中将图像变亮或者变暗，就与矩阵的数乘运算密切相关，图像进行旋转的过程我们可以理解为图像矩阵的转置或者通过线性变换，图像的复原或者图像的去模糊离不开矩阵求逆，还有图像压缩、去噪等问题都用到了矩阵运算[2]，而这些关于图像处理问题对学生来说非常常见，甚至学生常用的软件（比如Photoshop）中就包含了相关的数学算法，因此将这部分应用适当穿插于讲解矩阵运算时，会让学生深切体会到线性代数的知识不再是看不见、摸不着的，从而激发学生主动学习探索的兴趣，提升教学效果。

（二）搜索引擎背后的线性代数

在互联网飞速发展的今天，搜索引擎对我们来说并不陌生，无论在生活、学习还是工作中，经常需要在网上搜索一些信息，比如我们在一个搜索引擎中输入“线性代数”，很快就会显示出几千万个网页，那么搜索引擎是如何做到在非常短的时间内，对海量的信息进行搜集和筛选，从而给用户提供最有用的信息，并且我们发现不同的搜索引擎搜同样的信息出来的网页顺序也不相同，那么搜索引擎是按照什么准则对网页的前后进行排序的呢？这事实上就是网页排序的问题，而线性代数的相关知识在其中就发挥了关键的作用。此处我们简单了解一下谷歌搜索引擎的创始人Lawrence Page和Sergey Brin提出的Pagerank算法，其算法的思路是受到判别学术论文质量的方法：一篇论文被多少文章引用，被什么样级别的文章引用是判断文章质量的重要标准。同理一个重要的网页会被其他重要的网页指向，于是以网页间的链接结果为基础来划分网页的重要等级，通过建立数学模型构建网页关联矩阵，然后进行转置与归一化处理得到转移概率矩阵，而Pagerank的计算就是求该矩阵的最大特征向量[3]。在线性代数中求特征向量的问题与线性方程组的求解密切相关，在介绍线性方程组理论时适当介绍这部分应用，可以让学生体会到之所以我们从初中就开始学习求解线性方程组，到了大学仍然在研究，是因为它非常有用，而在科学计算中，通常会遇到万阶、百万阶甚至上亿阶的线性方程组的求解，对于这类超大规模方程组，寻求更有效的算法仍然是前沿的研究课题。

（三）人脸识别与特征值特征向量

人脸识别是对人脸关键特征进行分析计算并进行身份识别的一种生物识别技术，对其研究始于20世纪60年代，至今仍然是前沿的研究课题。人脸识别主要包括种类识别与个体识别两种，其中种类识别指的是从不同的种类中识别出哪个是人脸，如从人、猫、狗、大象中识别出人，它有什么作用呢？像有一些相机手机中附有的人臉识别功能，在夜拍或逆光时因光线太暗或者太强拍不清楚，那么照相机可以判别出哪个是人脸，拍照时使人脸部分更清晰，这就发挥了人脸识别的作用。个体识别指的是在都是人脸的情况下识别出某一个人，它有着十分广泛的应用，如手机、电脑等智能设备的身份验证，警方刑侦破案寻找失踪人口，学校、住宅区、车站的门禁系统，公司、考场的人脸考勤，刷脸支付等很多方面。那么计算机是如何识别人脸的呢？其中线性代数又发挥了什么样的作用？这里我们简单介绍人脸识别最经典的一种算法：特征脸算法。

（四）保密通信与矩阵的逆

通信指的是人与人之间通过某种行为或媒介进行信息交流与传递，随着人类社会的发展，通信技术与方式也发生了翻天覆地的变化。在信息加工和传送的过程中，为了避免信息被第三方截获，加工传送过程的保密性就尤为重要，因此，保密通信这项技术也随之变得非常重要，尤其在军事、商业、外交等通信领域。保密通信的基本原理为将要发送的明文信息通过某种方式进行伪装和隐藏变为密文，即在通信的过程中，发送方通过某种算法对明文代码进行加密，加密之后的密文代码发送到接收方，接收方再通过相应的某种算法对密文代码进行解密还原为明文代码，其中的某种算法就是密钥。如果从矩阵的角度来进行解释，明文信息用矩阵X来进行表示，加密的密钥用矩阵A表示，因此加密的过程就是矩阵方程AX=B或者XA=B，从而解密时的算法为X=A-1B或X=BA-1，其中A-1为A的逆矩阵[5]，这样在信息传递的过程中即使截获了密文内容，在不知道密钥的情况下也无法获取其真实内容，密钥发挥的作用就像《潜伏》等谍战片中情报人员舍生忘死保护和争夺的密码本一样，可见其重要程度。在介绍矩阵的逆时我们可以融入保密通信这个应用实例，这样便会使数学内容更加生动。

三、结语

本文主要介绍了线性代数在信息科学技术中的几个应用：图像处理、网页排序、人脸识别、保密通信，这些应用对学生来说并不陌生，甚至在学习生活中每天都会接触到，将这些应用案例融入课堂教学中，让学生感受到线性代数的实用价值，开阔学生的视野，提高其学习这门课的兴趣，化被动接受为主动学习，有利于学生更好地理解掌握线性代数的知识点，真正做到学以致用。

参考文献：

[1]王希云.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]白阿拉坦高娃.《线性代数》教学中矩阵理论在图像处理中的应用[J].科技创新导报，2017，14（1）：211，213.

[3]黄宜朵.求解PageRank问题的线性方程组算法[J].数学学习与研究，2010（1）：71.

[4]宇雪垠，曹拓荒，陈本盛.基于特征脸的人脸识别及实现[J].河北工业科技，2009，26（5）：428-430，433.

[5]张新文，王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（2）：166-170.

编辑 郑晓燕