巧构辅助圆 妙解几何问题

郑惠容

(福建省泉州市石狮市华侨中学 362700)

圆的有关知识是每年中考必考的内容之一.纵观近几年福建省的中考或质检的数学试题会发现，最后的两道压轴题中有时没有明显的圆的身影存在.但如果我们认真审题，就会发现，其实根据题目中的条件，我们可以自己构造一个辅助圆.那么怎样构造辅助圆呢？笔者结合实例，谈谈构造辅助圆的基本做法.

一、立足基础，利用圆的定义构造辅助圆

根据圆的定义：到一个定点的距离等于定值的点在同一个圆上.这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.

例1(2016-2017学年福州市期末试题)如图1，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形△HAC与等边△DCB，连接DH.

(2)在(1)的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE，求证：CE平分∠AEB;

(3)现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，如图2,C关于直线DH的对称点为E，则(2)中的结论是否成立并证明.

分析(3)根据对称性可知：HE=HC，又因为AH=HC,从而有HC=HA=HE，即A、C、E三点共圆.同理可知B、C、E三点也共圆.

证明(1)(2)略.

(3)结论仍正确.理由如下：

如图3,由对称性可知：HC=HE.

又∵HA=HC，∴HC=HA=HE,

∴A、C、E三点都在以点H为圆心，HA为半径的圆上.

∴∠AEC=∠BEC,∴EC平分∠AEB.

本题解题的关键在于能够根据圆的定义，发现A、C、E三点在以点H为圆心的圆上，同样B、C、E三点在以点D为圆心的圆上，这样做出辅助圆后，就可利用圆周角定理解决问题了.

二、能力导向，利用90°的圆周角所对的弦是直径得到辅助圆

如果题目中出现三角形有一内角为90°，有时可以利用90°的圆周角所对的弦是直径得到辅助圆，然后把问题转化为圆中的问题，利用与圆有关知识来解决相关的问题，这体现了能力导向下培养学生数学思维.

例2(2013年福建省泉州市质检试题)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动.设运动时间为t秒.

(1)(2)略.

(3)若∠ACB的平分线CE交△PCQ的外接圆于点E.试探求：在整个运动过程中，PC、QC、EC三者存在的数量关系式，并说明理由.

解(3)当0

∵∠ACB=90°,∴PQ是△CPQ外接圆的直径,

∴∠QEP=90°即∠QEC+∠PEC=90°.

又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°,

∴∠QCE=∠PHE=45°,

∴△QCE≌△PHE(AAS),∴QC=PH.

在Rt△HEC中，EC2+EH2=HC2,EC=EH,

本题中，题目中并没有给出圆，这时要根据题目中给出的条件，画出△CPQ的外接圆，这样才能结合圆的有关性质、全等三角形和勾股定理来解决问题.

三、关注差异，作三角形的外接圆

我们知道，不在同一直线的三点确定一个圆，有时可以利用这个基本事实来作辅助圆，特别是当三角形的一边为定值，而第三个顶点是一个动点时，要求与角有关的问题，可尝试作出辅助圆，看是否可以把问题转化为圆的有关计算.这需要更高层次的思维，因此，要关注学生差异，抚平台阶，让不同学习水平的学生得到不同程度的发展.

例3(2015年福建省泉州市质检试题)如图7，O是坐标原点,过点A(-1,0)的抛物线y=x2-bx-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．

(1)求b的值．

(2)连结BD、CD，动点Q的坐标为(m,1)．

①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；

②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标.

分析我们发现(2)中②问题中的△CQO的边OC是个定值，所以可大胆地构造出△CQO的外接圆⊙M，从而把∠CQO转化为圆心角∠CMO的一半来求.

解(1)(2)①略.

∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小.

又∵MO=MQ，∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大，

即当MQ⊥直线y=1时，∠CQO最大，

此时⊙M与直线y=1相切.

∴Q1(2,1).

根据对称性，另一点Q2(-2,1)也符合题意.

综上所述，Q1(2,1),Q2(-2,1).

我们也可以设⊙M与x轴交于点A(如图9)，这样就可以直接利用同弧所对的圆周角相等，把∠CQO转化为Rt△OAC中的∠OAC来解决.

本题的成功之处在于构造了过O、C、Q三点的⊙M，从而利用圆周角与圆心角之间的关系或同弧所对的圆周角相等、垂径定理、锐角三角函数的定义以及直线与圆的位置关系来解决问题.

从上面的几个例子我们可以发现，有些问题看似与圆无关,但根据问题的题设、结论或是图形提供的某些与圆的性质相关的信息,可以构造出辅助圆,然后就可以利用圆的相关性质来解决问题.事实告诉我们，只要能掌握好构造圆的基本方法构造出辅助圆，很多看似很难的几何问题就可以迎刃而解.辅助圆，是解决相关几何问题的“金钥匙”.