一元一次不等式(组)的运用对策(提优篇)

宋 扬

(江苏省扬州市田家炳实验中学 225000)

有许多不等式，本身并不是一元一次的，但往往都可以化为一元一次不等式(组)来求解. 诸如二次不等式、分式不等式、绝对值不等式，等等.另一方面，不等式(组)与数学其他知识点的综合运用也随处可见. 解决问题的总体对策是实施转化，转化的关键是找到相应的理论根据，使之在变形过程中保持同解性不变.

一、用于解二次不等式

类型对策：通常先将不等式右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，然后逆向使用两实数相乘的符号法则，把二次不等式转化为两个一次不等式组，分别求解后，再综合起来．

注:(1)上述方法的适用范围：不等式化为一般形式后，左边的二次式有两个实根的情形.对于没有实根的情形，可作适当处理，以确定其解的情况(或为无解，或解为一切实数).

(2)解一元二次不等式，通用方法是图象法(借助二次函数的图象求解).

例1 解不等式x2+2x<15.

解移项、分解因式得(x-3)(x+5)<0，于是有

由不等式组①得 无解；由不等式组②得 -5

所以原不等式的解集为 -5

要点指导：(1)本题逆用两实数相乘的符号法则具体是指：两数相乘若得负，则两数异号. 显然，其中包括两种情况.

(2)例1解题完成后，可将不等式中的“<”,依次改为“≤”、“>”、“≥”，分别看一看各自的求解过程和结果，以能掌握这部分内容的全面情况.

二、用于解分式不等式

类型对策1：通常先将不等式右边化为0，左边化为一个分式(这里是指两个一次式相除的形式)，然后逆用两实数相除的符号法则，把分式不等式转化为两个一次不等式组，分别求解后，再综合起来.

注:与前述解二次不等式的理论依据、方法相一致，有异曲同工之妙！想一想，相同点和不同点各有哪些？

类型对策2：若分式不等式的右边是一个常数，左边是一个分式，可直接对左边的分母按正、负两种情况分类讨论，把分式不等式转化为两个(一次)不等式组，分别求解后，再综合起来.

所以原不等式的解集为x>3或x<-5.

要点指导：(1)本题逆用相除的符号法则是指：两数相除,若得正，则两数同号；若得负，则两数异号.

(2)将本题与例1的求解过程和结果相对照(按“>”、“<”、“≥”、“≤”分别对照)，有什么发现？对这部分内容，可做个总结，以能总揽全局.

解法2 对原不等式分两种情况讨论，再加以综合.

综上可知，原不等式的解集为x>3或x<-5.

要点指导：特别要注意，此题切切不可直接将原不等式两边同乘(x+5).想一想，为什么？

三、用于解绝对值不等式

类型对策1：关键是怎样化去绝对值符号．通用方法是分类讨论．其一般步骤是：以各绝对值(内)的零点为分界点，把变量的取值依次分段，然后逐段求解，最后加以综合.逐段求解时，都是依据绝对值的基本性质：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a. 先正确写出去掉绝对值符号后的式子(这里指一次不等式)，然后求解.

类型对策2：对于只有一个绝对值符号的不等式，可根据绝对值的定义(即绝对值的几何意义)，直接写出去掉绝对值符号后的式子，继而求解.

使用这种方法的主要情形有两种：设f(x)是代数式，a是一个正实数.

(1)若|f(x)|a，则f(x)>a或f(x)<-a.

类型对策3：作同解变形. 比如，满足一定条件时，可将不等式两边同时平方，注意到|f(x)|2=[f(x)]2.

解法1 先分两种情况各自求解，再综合.

要点指导：依据绝对值的定义分类讨论，然后综合.

要点指导：(1)依据绝对值的几何意义化去绝对值符号；(2)这种连写的不等式，实质上也是不等式组，只是书写形式不同而已；(3)直接解连写的不等式容易出错. 要同时考虑“三边”(或“多边”)，而不是两边. 为了避免差错，对稍复杂的连写不等式，还是转换成不等式组的形式后再求解为宜.

四、与方程(组)的综合运用

类型对策：多用于带参数的方程(组)求满足某种特定条件的解(解集)，或以此来确定参数的取值(或范围). 通常先把参数看成常数，求出方程(组)的解，然后根据限制条件列出相应的关于参数的不等式(组)，并求其解集，得到参数的取值(或范围). 若题中还有其他求解目标，则根据条件继续求解.

例4 当且仅当k为何值时，方程组

由(*)式又可知，当且仅当k取整数时，原方程组有整数解.故当k=2,3,4时，原方程组有正整数解.

五、与函数的综合运用

类型对策：常用于求函数的最值等相关问题. 关键是列出关于自变量的不等式(组)，然后求其解集，就是相应函数的定义域. 随之，问题便迎刃而解.

例5 非负实数a、b、c满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1.设y=3a+b-7c，求y的最大值与最小值之和.

要点指导：本题的a、b、c具有同等地位，其中任一个都可选作自变量.

六、与几何问题的综合运用

类型对策：关键在于针对需要求解的问题，列出合适的不等式(组). 除了根据给出的已知条件(显性条件)，还常常用到相关几何图形本身的基本概念(定义)和性质. 隐含条件的使用，也往往具有选择性.

例6 一个三角形的三边长分别为xcm，(x+3)cm，(x+6)cm，它的周长不超过30cm，求x的取值范围.

要点指导：隐含条件当用则用，不可或缺. 本题的隐含条件是三角形任意两边之和大于第三边，应选择两小边之和大于第三边.