高中数学中导数解题教学策略

陈剑颖

(福建省福州第十一中学 350001)

高中数学导数解题教学中，求导是最为基础的步骤，关系着解题的成败，教学中应做好基础知识讲解，使学生牢固掌握常见函数的求导公式，避免求导时张冠李戴.同时，依托具体题型，讲解相关解题策略，使学生少走弯路，尽快找到解题突破口.

一、利用导数求解单调性的解题策略

求解复杂函数单调性是导数的重要应用之一.通常函数带有参数，研究其单调性时需要进行分类讨论.为使学生掌握这一题型的解题方法，教学中，一方面，认真讲解导数的意义，使学生深入理解.同时，要求学生采用对比记忆法，牢固记忆基本函数、复合函数求导公式，明确求导中应注意的问题，以正确求导，为讨论函数单调性奠定基础.另一方面，依托具体例题讲解，使学生认识到求导后需运用所学的函数知识进行分类讨论，确定函数的极值点以及对应的单调区间.

例1已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)，若x=1是函数f(x)的一个极值点，试求出b关于a的关系式(用a表示b)，并确定f(x)的单调区间.

解题策略首先，根据f(x)的表达式先进行求导，由x=1，求出b关于a的关系式.其次，求导后，统一使用a表示f(x)的导函数，求解出函数的极值点.最后分类讨论极值点，确定其单调区间，解题过程如下：

解由f(x)=(x2+ax+b)ex，则f′(x)=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex.

∵x=1为其极值点，则f′(1)=[1+(2+a)+(a+b)]e=0,解得b=-3-2a，则f′(x)=ex(x-1)[x+(3+a)].令f′(x)=0得x1=1，x2=-3-a.∵x=1是极值点，∴-3-a≠1，即a≠-4.当-3-a>1，即a<-4时，由f′(x)>0得x∈(-3-a，+∞)或x∈(-∞，1)，由f′(x)<0得x∈(1，-3-a),当-3-a<1，即a>-4时，由f′(x)>0得x∈(1，+∞)或x∈(-∞，-3-a)，由f′(x)<0得x∈(-3-a，1).

综上，当a<-4时，f(x)在(-∞，1)、(-3-a，+∞)上单调递增，在(1，-3-a)上单调递减.当a>-4时，f(x)在(-∞，-3-a)、(1，+∞)上单调递增，在(-3-a，1)上单调递减.

二、利用导数求解参数范围解题策略

求解参数范围是导数知识的又一重要应用，其常和导数的单调性、极值点结合起来，综合性较强.为使学生能够顺利解答这一试题类型，教学中，一方面，引导学生进行正确转化，尤其对于恒成立问题，可转化为f(x)min>a或f(x)max

例2已知函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x，x=3为其一个极值点.若直线y=b和函数f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.

解题策略首先，根据题干求出函数f(x)的表达式.其次，通过求导找到其单调区间及极值点.最后，根据其单调性其极值点，大致绘制其图形，确定b的取值范围，解题过程如下：

∴f(x)max=f(1)=16ln2-9，f(x)min=f(3)=32ln2-21.又当x→-1+时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→+∞.

结合函数大致图形可知要想直线y=b和y=f(x)的图象有3个交点，则b的取值范围应为(32ln2-21，16ln2-9).

三、利用导数求解不等式的解题策略

导数和不等式结合在高考中较为常见.这类题型技巧性较强，有时需要构造函数，因此，教学中，为使学生攻克这一类型，一方面，为学生讲解相关的解题技巧，如进行作差和零比较大小，作商和1比较大小等.另一方面，为使学生感受导数求解不等式的具体过程，教学中还应多为学生讲解相关题目，详细板书解题过程，鼓励学生进行思考，当堂消化吸收所学.

解题策略首先，根据给出的函数表达式求解其单调性，求解单调性时应注意定义域.其次，根据要求证的结果，分别进行作差，结合函数单调性以及极值分别加以证明.另外，需要注意的是，必要情况下需要构造新的函数，通过求导进行证明.该题的证明过程如下：

高中数学教学中，为使学生掌握导数解题技巧，应做好教学经验总结，注重教学反思，积极寻找有效的教学策略.一方面，深入讲解导数基础知识，使学生切实打牢基础，应讲解优秀例题，使学生掌握不同题型解题方法.另一方面，优选代表性题目，对学生进行训练，使学生在训练中积累经验，掌握解题技巧，高效解答有关导数类型的试题.