一道平面向量实际问题的研究与思考

石鹏　刘卓

【摘要】平面向量是解决数学问题的一个重要工具，在利用平面向量解决实际问题时，可借助三角函数工具和三角函数运算，并根据严谨的数学逻辑推理解决问题.本文是对一道平面向量实际问题的深入研究，并给出这类问题的推广形式的结论，从而培养学生严谨的思维和推理能力.

【关键词】平面向量;三角函数;旋转角;和差化积

本文是根据高中数学必修4“平面向量加法运算”这一节的教辅资料中的一道题而来的，由于这道题答案给的解题过程不够严谨，解析过程逻辑不够准确，所以本文结合向量的坐标运算及三角函数的积化和差与和差化积公式对本题进行严谨推理，并得到满足题意的答案，且答案不唯一，然后研究本题推广的一般结论.

现给出本题的题目和参考答案给出的解法.

[STHZ]例[STBZ] 已知机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，某学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转α角，然后向前走1米.将该指令进行一次称为一个操作，试用向量解决以下问题.

（1）当α=π3时，经过几次操作才能回到原点？

（2）是否存在α，使得机器人经过10次操作，回到首次出发时的原点？

[STHZ]解[STBZ] （1）略.

（2）假设机器人经过10次操作回到原点，完成第i次操作记为ai1≤i≤10.由题意可知，a1+a2+…+a10=0，则向量a1，a2，…，a10构成了一个正十边形，由于角α为正十边形的外角，且外角和为2π，则此时正十边形的外角为α=2π10=π5.所以存在角α，且为π5.

显然这种解法的推理不够严谨，不够全面，经过10次操作，除正十边形外，还有没有其他情况呢？以进行5次操作为例，可以是正五边形，也可以是五角星形状，都能实现5次操作后回到原点.因此，下面给出本题第（2）问的严格推理过程和满足要求的旋转角α的集合.

解 记开始点位于直角坐标系xOy中的坐标原点，且第i次操作由点Ai-1到点Ai（i=1，2，…，10），A0与O重合，第1次旋转是由x正半轴按逆时针方向旋转α角，第2次旋转后的A1A2是由x正半轴按逆时针方向旋转2α角，第10次旋转后的A9A0是由x正半轴按逆时针方向旋转10α角，所以有：A0A1=（cos α，sin α），A1A2=（cos 2α，sin 2α），…，

A9A0=（cos 10α，sin 10α）.

由于机器人经过10次回到原点，则A0A1+A1A2+…+A9A0=0.

又因为

A0A1+A1A2+…+A9A0=（cos α，sin α）+（cos 2α，sin 2α）+…+（cos 10α，sin 10α）=（cos α+cos 2α+…+cos 10α，sin α+sin 2α+…+sin 10α）=（0，0），

所以cos α+cos 2α+…+cos 10α=0，sin α+sin 2α+…+sin 10α=0.

又因为α∈（0，2π），α2∈（0，π），所以sinα2>0.由积化和差公式和和差化积公式知，

cos α+cos 2α+…+cos 10α=cos αsinα2+cos 2αsinα2+…+cos 10αsinα2sinα2=12sin3α2-sinα2+12sin5α2-sin3α2+…+12sin21α2-sin19α2sinα2=12sin21α2-sinα2sinα2=cos11α2sin 5αsinα2.

同理可得sin α+sin 2α+…+sin 10α=sin11α2sin 5αsinα2.

由于sinα2≠0，所以cos11α2sin 5α=0，sin11α2sin 5α=0，

当sin 5α≠0时，有cos11α2=0，sin11α2=0，

所以sin 211α2+cos 211α2=0，这与sin 211α2+cos 211α2=1相矛盾.

故方程组cos11α2=0，sin 5α=0与sin11α2=0，sin 5α=0在α∈（0，2π）内无解.

所以sin 5α=0，5α=kπ，α=kπ5，k∈Z，

又因为α∈（0，2π），所以角α的取值集合为π5，2π5，3π5，4π5，6π5，7π5，8π5，9π5，共8种情况.

将此结论推广到一般情况：

按照上题的操作规则，机器人经过n（n≥3）次操作后.

（1）求机器人所在点的坐标（x，y），及坐标与角α和n之间所满足的等式关系;

（2）若机器人经过n次操作后首次回到原点，求角α（0<α<2π）的取值集合.

解 记机器人开始点位于直角坐标系xOy中的坐标原点，且第i次操作由点Ai-1到点Ai（i=1，2，…，n），A0与点O重合，An（x，y）.第一次旋转是由x正半轴按逆时针方向旋转α角，第i次旋转后的Ai-1Ai（1≤i≤n）是由x正半轴按逆时针方向旋转iα角，所以有Ai-1Ai=（cos iα，sin iα）（1≤i≤n），则OAn=A0A1+A1A2+…+An-1An=（x，y）.

又因为

A0A1+A1A2+…+An-1An=（cos α，sin α）+（cos 2α，sin 2α）+…+（cos nα，sin nα）

=（cos α+cos 2α+…+cos nα，sin α+sin 2α+…+sin nα）.

所以x=cos α+cos 2α+…+cos nα，y=sin α+sin 2α+…+sin nα.

又因为α∈（0，2π），α2∈（0，π），所以sinα2>0.由积化和差公式和和差化积公式知

cos α+cos 2α+…+cos nα=cos αsinα2+cos 2αsinα2+…+cos nαsinα2sinα2=12sin3α2-sinα2+12sin5α2-sin3α2+…+12sin（2n+1）α2-sin（2n-1）α2sinα2

=12sin（2n+1）α2-sinα2sinα2=cos（n+1）α2sinnα2sinα2.

同理可得sin α+sin 2α+…+sin nα=sin（n+1）α2sinnα2sinα2.

所以，点（x，y）的坐标满足x=cosn+1α2sinnα2sinα2y=sinn+1α2sinnα2sinα2，（其中α∈（0，2π））.

對上述两式平方得点（x，y）的坐标与角α和n之间的关系式为x2+y2=sin 2nα2sin 2α2.

（2）机器人经过n次操作后首次回到原点，则x=0，y=0.

由于sinα2≠0，所以cos（n+1）α2sinnα2=0，sinn+1α2sinnα2=0，当sinnα2≠0时，有cosn+1α2=0，sin（n+1）α2=0，

所以sin 2（n+1）α2+cos 2（n+1）α2=0，这与sin 2（n+1）α2+cos 2（n+1）α2=1相矛盾.

由cos（n+1）α2=0，sinnα2=0，得α=（2k+1）πn+1，α=2kπn，（k=1，2，…，n-1），无解.

同理sin（n+1）α2=0，sinnα2=0无解.

所以sinnα2=0，nα2=kπ，α=2kπn，k∈Z.

又因为α∈（0，2π），

当n为奇数时，角α的取值集合为αα=2kπn，k=1，2，3，…，n-1，共（n-1）种情况;

当n为偶数时，角α的取值集合为αα=2kπn，k=1，2，…，n2-1，n2+1，…，n-1，共（n-2）种情况.